Esercizio analisi complessa con Teorema integrale di Cauchy

[ceci9999]

Buonasera a tutti,
sono in difficoltà con un esercizio di analisi 2 riguardante il Teorema integrale di Cauchy.
L'esercizio chiede di risolvere quest' esercizio attraverso il teorema/le formule.

$\int_{+ gamma} z/(2z+1) dz$ dove $+ gamma$ è la circonferenza $|z|=2$ percorsa in verso antiorario.

Grazie in anticipo.

[gugo82]

Che dice il Teorema?
Come puoi applicarlo in questo caso?

[ceci9999]

Che dice il Teorema?
Come puoi applicarlo in questo caso?

Il teorema da usare dovrebbe essere questo:

Siano $Omega$ una regione di $CC$, $f : Omega -> CC$ olomorfa e $\gamma$ una curva semplice, chiusa, $Omega$-omotopa ad un punto ed orientata in senso antiorario. Allora:

$f(z_0)= 1/(2pii) \int_{\gamma} f(z)/(z - z_0) text(d) z$.

ma non riesco ad applicarlo.

[gugo82]

Innanzitutto, osserva che ho modificato leggermente la notazione nell’integrale del teorema, per adattarla meglio alla notazione che usi negli esercizi.

Poi, il teorema che hai enunciato manca di un ipotesi, i.e. che $z_0 in Omega$ appartenga alla sottoregione $Omega’ sub Omega$ delimitata da $gamma$ (infatti, se ciò non è vero, l’integrale è nullo).

Detto ciò, per applicare la F.I.d.C. devi ricondurre il tuo integrale a quello dell’enunciato, aggiustando il denominatore ed individuando una $f$ ed un punto $z_0$ opportuno.
Al denominatore tu hai $2z +1$ ed invece ti serve qualcosa del tipo $z - z_0$. Che fai per ricondurti a qualcosa di simile?

[ceci9999]

Innanzitutto, osserva che ho modificato leggermente la notazione nell’integrale del teorema, per adattarla meglio alla notazione che usi negli esercizi.

Poi, il teorema che hai enunciato manca di un ipotesi, i.e. che $z_0 in Omega$ appartenga alla sottoregione $Omega’ sub Omega$ delimitata da $gamma$ (infatti, se ciò non è vero, l’integrale è nullo).

Detto ciò, per applicare la F.I.d.C. devi ricondurre il tuo integrale a quello dell’enunciato, aggiustando il denominatore ed individuando una $f$ ed un punto $z_0$ opportuno.
Al denominatore tu hai $2z +1$ ed invece ti serve qualcosa del tipo $z - z_0$. Che fai per ricondurti a qualcosa di simile?

Potrei raccogliere un 2 così da trovarmi nella forma $2(z+1/2)$ così che $z_0$ sia $-1/2$?

[gugo82]

Brava.

Continua. Chi è $f(z)$, allora?
E come applichi il teorema?

[ceci9999]

Brava.

Continua. Chi è $f(z)$, allora?
E come applichi il teorema?

Allora posso ricavarmi $f(z_0)$ e moltiplicarlo per $2pii$ ma poi non saprei come ricavare l'integrale.

[gugo82]

Allora, ricavando l’integrale dalla FIdC trovi:
\[
\int_{+\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0}\ \text{d} z = 2 \pi\ \mathbf{i}\ f(z_0)\;,
\]
quindi hai finito… Se hai ben determinato $f$.

[ceci9999]

Allora, ricavando l’integrale dalla FIdC trovi:
\[
\int_{+\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0}\ \text{d} z = 2 \pi\ \mathbf{i}\ f(z_0)\;,
\]
quindi hai finito… Se hai ben determinato $f$.

Apposto, grazie mille!!