Equazione differenziale alle derivate parziali

[ludovica_97]

Ho il seguente problema da risolvere
$\begin{cases}
u_t(x,t;m)=2 u_{xx}(x,t;m)-t u(x,t;m) \\
u(0,t;m)=0 \\
u_x(\pi,t;m)= e^{-\frac{t^2+m^2t}{2}} \\
u(x,0;m)=x+sin(x)
\end{cases} $

$Si tratta dell'equazione del calore con condizioni al bordo miste e per risolverla devo, prima di tutto, modificare due cose: devo eliminare il termine $t u(x,t;m)$ e devo rendere omogenea la condizione $u_x(\pi,t;m)= e^{-\frac{t^2+m^2t}{2}}$.

Per quanto riguarda la prima modifica faccio una sostituzione e pongo $u(x,t;m)=e^{-t} v(x,t;m)$. Il nuovo problema sara' quindi:
$\begin{cases}
v_t(x,t;m)=2 v_{xx}(x,t;m) \\
v(0,t;m)=0 \\
v_x(\pi,t;m)= e^{-\frac{t^2+m^2t}{2}+t} \\
v(x,0;m)=x+sin(x)
\end{cases}$

$Ora devo rendere omogenee le condizioni al bordo, quindi, facendo le dovute sostituzioni arrivo al problema di Cauchy:
$\begin{cases}
w_t(x,t;m)=2 w_{xx}(x,t;m) - x e^{-\frac{t^2+m^2t}{2}+t}\\
w(0,t;m)=0 \\
w_x(\pi,t;m)= 0 \\
w(x,0;m)=x+sin(x)-x=sin(x)
\end{cases}$

$Ora devo risolvere questo problema. Per quanto riguarda problemi con condizioni non miste ci sono le dovute formule, ma per le condizioni miste il nostro professore non e' stato molto chiaro. Vedendo qua e la ho trovato questa, ma suppongo che non sia corretta perche' sostituendo la soluzione che mi viene fuori non ottengo che rispetta le condizioni iniziali.

$w(x,t;m)=\sum_{n=1}^{\infty} sin(\frac {(2n-1)x}{2}) e^{-dn^2t}b_n$
E poi faccio i vari calcoli. Ma questa formula e' la formula generale per risolvere problemi con condizioni al bordo miste? Qual e' il ragionamento?

[gugo82]

Sei sicura che la prima sostituzione sia corretta?

Io trovo $u_t = - e^(-t) v + e^(-t) v_t$ e $u_(x x) = e^(-t) v_(x x)$, quindi il termine $t u$ non può scomparire dalla PDE con questa sostituzione.

Mi sa che il fattore integrante giusto è $e^(t^2/2)$.

[ludovica_97]

Si, hai ragione è $e^{-\frac{t^2}{2}}$

[gugo82]

Sì, mi ero mangiato un meno all’esponente.

Fatte le sostituzioni corrette, a che PDE arrivi? E le condizioni iniziali/al bordo?

[ludovica_97]

Scusa se ti rispondo cosi tardi ma ho cercato di arrivarci sola, purtroppo ho ancora molti dubbi quindi devo chiederti una mano. Allora alla fine di tutte le sostituzioni arrivo al problema da risolvere che ha la forma:
$\begin{cases}
u_t=2u_{xx}+m^2/2 x e^{\frac{-m^2}{2}t} \\
u(0,t)=u(π,t)=0 \\
u(x,0)=sin(x)
\end{cases} $

Per risolvere questo ora dovrei prima di tutto guardare il caso omogeneo e operare con il metodo di separazione delle variabili,ma poi? Non mi è molto chiaro

[gugo82]

Allora… Non riesco a capire se può effettivamente essere utile rendere del tutto omogenee le condizioni al bordo, perché così facendo vai ad infilare un termine noto “brutto” (per me) dentro l’equazione.
Visto che (come detto altrove) non ricordo come si fanno i conti espliciti in questo caso, io non preferirei questa strada; ma se tu sai come fare i calcoli, postali e li controlliamo insieme.


P.S.: Da dove viene il problema? Libro? Che corso hai seguito?

*** EDIT: Pensandoci dopo un caffè, mi pare che senza avere condizioni omogenee il problema del calcolo delle frequenze $lambda_n$ associate al problema “spaziale” sia complicato assai. Quindi sì, infilare quel termine noto dentro la PDE può essere utile.
Il problema è che non ricordo come fare i conti in questo caso…

[ludovica_97]

L'esercizio ci e' stato dato dal professore, si tratta del corso di fisica matematica 2.

Per quanto riguarda il rendere omogenee le soluzioni ci e' stato dato come unico metodo per risolvere questo genere di problemi e non saprei proprio operare in modo diverso. Provo a postare i conti che ho fatto ma arrivo ad un punto dove mi blocco.

Allora il metodo di separazione delle variabili fa si che io possa scrivere la mia soluzione come $u(x,t)=g(x)h(t)$, quindi sostituendola all'interno della mia equazione (omogenea) arrivo a dire che:
$h'(t)g(x)=g''(x)h(t)$ ed essendo dipendenti da parametri diversi ho che $\frac{g''(x)}{g(x)}= \lambda$ e $\frac{h'(x)}{h(x)}= 2 \lambda$

Risolvo separatamente le due equazioni differenziali e ottengo che $g(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} sin(\frac{2n-1}{2}x)$ e $h(t)=e^{2 \lambda t}$.

Ora? Mi viene da dire che la soluzione sia, indicato con $u_n=\sqrt{\frac{2}{\pi}} sin(\frac{2n-1}{2}x) e^{2 \lambda t}$

$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n u_n(x,t)$ con i b_n che sono i coefficienti della serie di Fourier di $sin(x)$

[gugo82]

Con ordine.

Facendo le sostituzioni $v(x,t) = e^(t^2/2) u(x,t)$ e $w(x,t) = v(x,t) - x e^(- m^2/2 t)$, cioè $w(x,t) = e^(t^2/2) u(x,t) - x e^(- m^2/2 t)$, si ottiene il problema:
\[\tag{P}
\begin{cases}
w_t(x,t) = 2 w_{xx} (x,t) + \frac{m^2}{2}\ x\ e^{-m^2 t/2} \\
w(0,t) = 0 \\
w_x (\pi, t) = 0 \\
w(x, 0) = \sin x
\end{cases}
\]
Ora che si fa?

Si spezza il problema in due, uno con PDE omogenea e condizioni al bordo/iniziali uguali a quelle di (P), l’altro con PDE nonomogenea e condizioni al bordo/iniziali nulle?

Oppure?
Separare direttamente le variabili la vedo dura…

[ludovica_97]

Il nuovo problema ora e' questo qui, quello di prima si dimentica.

L'idea e' quella di considerare questo problema che ho ottenuto (quindi quello con le condizioni omogenee) e trovare la soluzione dell'omogeneo associato. A quel punto con il metodo di Duhamel si trova la soluzione del problema non omogeneo. Quello che io ho scritto sopra e' ancora il passaggio in cui cerco di risolvere il problema associato.

[gugo82]

Ok.

Quindi stiamo spezzando (P) in due problemi: il problema con PDE omogenea con le condizioni al bordo/iniziali uguali a (P):
\[\tag{PO}
\begin{cases}
w_t(x,t) = 2 w_{xx}(x,t) \\
w(0,t) = 0 \\
w_x(\pi ,t) = 0\\
w(x,0) = \sin x
\end{cases}
\]
ed il problema con la PDE nonomogenea con condizioni tutte nulle:
\[\tag{PN}
\begin{cases}
w_t(x,t) = 2 w_{xx}(x,t) + \frac{m^2}{2}\ x\ e^{-m^2 t/2}\\
w(0,t) = 0 \\
w_x(\pi ,t) = 0\\
w(x,0) = 0
\end{cases}\;,
\]
di modo che la soluzione di (P) coincide con la somma delle soluzioni di (PO) e di (PN).

In (PO), la separazione delle variabili funziona che è un piacere.
Posto $w(x,t) = X(x) T(t)$ e detta $-lambda$ la costante di separazione, ottieni le due EDO $X^”(x) +lambda/2 X(x)=0$ e $dot(T)(t) + lambda T(t) =0$. Alla prima EDO vengono associate le condizioni $X(0) = 0$ ed $X^’ (pi) =0$, sicché per la componente “spaziale” si ottiene il problema:
\[
\begin{cases}
X^{\prime \prime} (x) + \frac{\lambda}{2}\ X(x) = 0 \\
X(0) = 0 \\
X^\prime (\pi) = 0
\end{cases} \; ,
\]
che ha soluzioni non nulle solo se $lambda = lambda_n = (2n + 1)^2/2$ e le soluzioni sono del tipo $X(x) = X_n(x) = B_n sin((2n + 1)/2 x)$ con $n in NN$.
La seconda EDO per $lambda = lambda_n$ ha integrale generale $T(t) = T_n(t) = C_n e^(- (2 n + 1)^2/2 t)$.
Coi soliti trucchi, la soluzione di (PO) sarà del tipo $w_O(x,t) = sum_(n = 0)^oo c_n e^(- (2 n + 1)^2/2 t) sin((2n + 1)/2 x)$ con i coefficienti $c_n$ da determinare in modo che $sum_(n = 1)^oo c_n sin((2n + 1)/2 x) = sin x$.
C’è da fare qualche contariello che lascio volentieri a te.

L’altro problema, (PN), come lo risolvi?