Equazione differenziale alle derivate parziali

[ludovica_97]

L'altro problema è quello che mi crea problemi. Io so che va usato il metodo di Duhamel, ma non ho capito come fare

[gugo82]

Quale metodo di Duhamel?

Quello di trovare una funzione $phi(x,t;s)$ che risolve un problema del tipo:
\[
\begin{cases}
\phi_t (x,t) = 2 \phi_{xx}(x,t) &\text{, per } 0<x<\pi,\ t>s \\
\phi(0,t) = 0 &\text{, per } t \geq s \\
\phi_x(\pi ,t) = 0 &\text{, per } t \geq s \\
\phi(x,s) = \frac{m^2}{2}\ e^{- m^2 s/2}\ x &\text{, per } 0\leq x \leq \pi
\end{cases}
\]
per poi ricavare la soluzione di (PN) mediante l’integrale $int_0^t phi(x,t;s) text(d) s$?

[ludovica_97]

Dopo qualche giorno di reclusione finalmente penso di essere arrivata alla conclusione.
Quello che io faccio da subito, quando considero il problema omogeneo è quello di dividere il mio problema in due, uno della forma
$\begin{cases}
u_t=2u_{xx}+f(x,t) \\
u(0,t)=0=u(π,t) \\
u(x,0)=0
\end{cases}$
$E un altro del tipo

$\begin{cases}
u_t=2u_{xx}\\
u(0,t)=0=u(π,t) \\
u(x,0)=sin(x)
\end{cases}$

$La soluzione non sarà altro che la somma di queste due soluzioni.

Per il problema omogeneo non ho grandi cose da fare se non applicare il metodo di separazione delle variabili e risolverlo come detto sopra.

Per il problema non omogeneo invece uso il metodo di Duhamel. Cosa faccio quindi? In pratica riporto il mio problema ad un problema omogeneo, proprio come vuole questo metodo e quindi vado a studiare

$\begin{cases}
u_t=2u_{xx} \\
u(0,t)=0=u(π,t) \\
u(x,0)=f(x,t)
\end{cases}$

[gugo82]

Che tu continui a scrivere le stesse cose (tra l’altro sbagliando le condizioni al bordo) invece di cercare di rispondere alle domande di chi sta tentando di aiutarti è del tutto inutile e rende la discussione priva di senso: sembra di parlare con un disco incantato sulla stessa domanda.

[ludovica_97]

Che tu continui a scrivere le stesse cose (tra l’altro sbagliando le condizioni al bordo) invece di cercare di rispondere alle domande di chi sta tentando di aiutarti è del tutto inutile e rende la discussione priva di senso: sembra di parlare con un disco incantato sulla stessa domanda.

Mi pare di aver risposto alla tua domanda, scrivendoti cosa intendo per metodo di Duhamel

[gugo82]

Questa era la domanda:

Quale metodo di Duhamel?

Quello di trovare una funzione $phi(x,t;s)$ che risolve un problema del tipo:
\[
\begin{cases}
\phi_t (x,t) = 2 \phi_{xx}(x,t) &\text{, per } 0<x<\pi,\ t>s \\
\phi(0,t) = 0 &\text{, per } t \geq s \\
\phi_x(\pi ,t) = 0 &\text{, per } t \geq s \\
\phi(x,s) = \frac{m^2}{2}\ e^{- m^2 s/2}\ x &\text{, per } 0\leq x \leq \pi
\end{cases}
\]
per poi ricavare la soluzione di (PN) mediante l’integrale $int_0^t phi(x,t;s) text(d) s$?

Nella tua “risposta” 1) hai cambiato le condizioni al bordo (non si sa perché da miste sono diventate Dirichlet omogenee), 2) non c’è traccia di un procedimento che leghi la risoluzione dei problemi che proponi e quindi 3) non si capisce se stiamo dicendo la stessa cosa o no.

Ti dispiacerebbe riportare quale metodo vuoi usare per intero?
Casomai postando qualche calcolo?
Oppure dare un riferimento bibliografico, tipo che libro o che dispense usi?