Teoremi di convergenza monotona e dominata

[Gabrielek]

Buonasera a tutti.
Riporto un esercizio di un vecchio tema d'esame di teoria della misura.

Usando i teoremi appropriati e giusticando opportunamente i passaggi chiave, calcolare:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-n^2x}}{\sqrt{|x-n^2|}} dx $$
Suggerimento: per n > 2, $ \int_0^{+\infty} = \int_0^1 + \int_1^{n^2-n} + \int_{n^2-n}^{n^2+n}+\int_{n^2+n}^{+\infty} $
calcolare il limite di ciascuno dei quattro pezzi facendo le opportune considerazioni / stime. f non ha primitiva elementare, ma è il prodotto di due funzioni con primitiva elementare, fatto che può essere utile dopo aver ettuato le opportune stime.

Ringrazio chiunque possa darmi uno spunto su come risolvere questo esercizio

[Rigel]

Nel primo integrale puoi maggiorare la funzione integranda con
\[
0 < f_n(x) \leq \frac{1}{\sqrt{n^2-1}},
\qquad x\in [0,1].
\]
Nel secondo e nel quarto, il denominatore è minorato da $\sqrt{n}$, dunque puoi usare
\[
0 < f_n(x) \leq \frac{e^{-x}}{\sqrt{n}}
\]
e usare il teorema di convergenza dominata (con dominante $e^{-x}$, ad esempio).
Per il terzo integrale può essere utile un cambio di variabile del tipo $y = x - n^2$.