Esercizio su operatore

[rdlf]

Salve a tutti!
Guardando dei temi di esame mi sono imbattuto in questo esercizio che non riesco a capire e risolvere. Quanlcuno può darmi una mano?

Si considerino in $L^2(-1,1)$ i primi due polinomi di Legendre $P_0(t)=1/\sqrt(2)$ e $P_1(t)=\sqrt(3/2)t$. Un operatore $T$ ammette la seguente decomposizione spettrale:
$(Tf)(x)=\int_-1^1 f(t)dt + x \int_-1^1 tf(t)dt $ con $f\inL^2(-1,1)$

Le richieste sono:
a)Quali sono gli autovalori e gli autovettori di T?
b)T è continuo?
c)T è iniettivo?
d)Sia $f(t)=t-1$ .Sfruttando la decomposizione su $f(t)$ sul set di polinomi di Legendre e sfruttando la decomposizione spettrale di T calcolare $(T^4f)(x)$

Vi vorrei proporre un tentativo si soluzione ma sinceramente non so bene neanche da dove partire, purtroppo durante il corso non abbiamo fatto esercizi di questo tipo. Chiedo il vostro aiuto!

[gugo82]

per avere un’idea delle autofunzioni e per determinare gli autovalori di $T$, guarda innanzitutto com’è fatta $Tf$.
L’operatore $T$ manda la generica funzione $f in L^2$ in una funzione del tipo $ax + b$ (in cui $a:= int_(-1)^1 t f(t) text(d) t$ e $b:= int_(-1)^1 f(t) text(d) t$), ossia in un polinomio al più di primo grado.
In altre parole, il rango di $T$ è finito-dimensionale e coincide con (un sottoinsieme del)lo spazio dei polinomi di grado al più uguale ad $1$.
Ne viene che $T$ è lineare e continuo ed anche compatto, innanzitutto, e poi che le autofunzioni devono necessariamente essere del tipo $f(x) = ax + b$ (perché altrimenti non sarebbe possibile soddisfare $Tf = lambda f$). Quindi, per determinare gli autovalori e le autofunzioni basta sostituire $f(x) = ax +b$ nell’equazione $Tf=lambda f$ e trasformare il problema in un problema di autovalori di Algebra Lineare.
Prova.

Analogamente, per controllare l’iniettività di $T$ basta controllare se il nucleo, i.e. l’insieme delle funzioni $f inL^2$ tali che $Tf = 0$, si riduce al sottospazio nullo.

Per l’ultima questione, si può anche fare un conto esplicito sfruttando i conti fatti sopra, che ci si mette dieci secondi.


P.S.: Qui un paio di esercizi simili.

[rdlf]

Anzi tutto grazie per la risposta.

per avere un’idea delle autofunzioni e per determinare gli autovalori di $T$, guarda innanzitutto com’è fatta $Tf$.
L’operatore $T$ manda la generica funzione $f in L^2$ in una funzione del tipo $ax + b$ (in cui $a:= int_(-1)^1 t f(t) text(d) t$ e $b:= int_(-1)^1 f(t) text(d) t$), ossia in un polinomio al più di primo grado.
In altre parole, il rango di $T$ è finito-dimensionale e coincide con (un sottoinsieme del)lo spazio dei polinomi di grado al più uguale ad $1$.
Ne viene che $T$ è lineare e continuo ed anche compatto, innanzitutto, e poi che le autofunzioni devono necessariamente essere del tipo $f(x) = ax + b$ (perché altrimenti non sarebbe possibile soddisfare $Tf = lambda f$)

Capisco la risposta che mi hai dato. Le considerazioni fatte sono tutte buone.
Vorrei chiederti se l'aver fornito i primi due polinomi di Legendre non sia utile ai fini di questo punto.
(anche se il mio libro riporta che sono un sistema completo in $L^2(0,\pi)$ e qui si sta parlando di spazio $L^2(-1,+1)$, riesci a spiegarmi perché?).
Intendo dire che, sempre seguendo quello che il mio libro dice, ogni operatore può essere definito su un set ortonormale completo ${e_n}$ in questo modo $Te_n = c_n e_n$ dove i $c_n$ sono gli autovalori e gli $e_n$ sono gli autovettori dell' operatore, dunque si può automaticamente constatare che gli autovettori dell'operatore sono i due polinomi di Legendre dati?

Quindi, per determinare gli autovalori e le autofunzioni basta sostituire $f(x) = ax +b$ nell’equazione $Tf=lambda f$ e trasformare il problema in un problema di autovalori di Algebra Lineare.
Prova.

Provo.
Ho dunque $Tf(x)=\lambdaf(x)$
$\int_-1^1(at+b)dt+x\int_-1^1t(at+b)dt=\lambda(ax+b)$
salto un po' di calcoli e mi trovo con
$2/3xa+2b=\lambda(ax+b)$
pongo $b=0$ e trovo $\lambda=2/3$
pongo $a=0$ e trovo $\lambda=2$
e questi sono gli autovalori

Da qui in poi non saprei come constatare gli autovettori (facendo calcoli intendo, dimenticando per un attimo la mia considerazione fatta sopra, se corretta)

Per i prossimi punti, ora ci penso

[gugo82]

Anzi tutto grazie per la risposta.

per avere un’idea delle autofunzioni e per determinare gli autovalori di $T$, guarda innanzitutto com’è fatta $Tf$.
L’operatore $T$ manda la generica funzione $f in L^2$ in una funzione del tipo $ax + b$ (in cui $a:= int_(-1)^1 t f(t) text(d) t$ e $b:= int_(-1)^1 f(t) text(d) t$), ossia in un polinomio al più di primo grado.
In altre parole, il rango di $T$ è finito-dimensionale e coincide con (un sottoinsieme del)lo spazio dei polinomi di grado al più uguale ad $1$.
Ne viene che $T$ è lineare e continuo ed anche compatto, innanzitutto, e poi che le autofunzioni devono necessariamente essere del tipo $f(x) = ax + b$ (perché altrimenti non sarebbe possibile soddisfare $Tf = lambda f$)

Capisco la risposta che mi hai dato. Le considerazioni fatte sono tutte buone.

E meno male…

Vorrei chiederti se l'aver fornito i primi due polinomi di Legendre non sia utile ai fini di questo punto.

Forse facilita i conti in qualche modo, ma non credo sia essenziale usarli ai fini dell’esercizio.

(anche se il mio libro riporta che sono un sistema completo in $L^2(0,\pi)$ e qui si sta parlando di spazio $L^2(-1,+1)$, riesci a spiegarmi perché?).

Quelli assegnati sono solo due elementi del set dei polinomi di Legendre, quindi non ha senso parlare di completezza in un $L^2$ (perché tale spazio è infinito-dimensionale ed ovviamente i suoi elementi non possono essere tutti approssimati da combinazioni lineari di due sole funzioni).
Inoltre, è chiaro che cambiando l’intervallo in cui vivono le funzioni, cambia lo spazio e si deve modificare concordemente il sistema di funzioni ortogonali; tuttavia non è questo il caso, perché i polinomi di Legendre sono un sistema ortonormale completo proprio in $L^2(-1,1)$ (e non in $L^2(0,pi)$).

Intendo dire che, sempre seguendo quello che il mio libro dice, ogni operatore può essere definito su un set ortonormale completo ${e_n}$ in questo modo $Te_n = c_n e_n$ dove i $c_n$ sono gli autovalori e gli $e_n$ sono gli autovettori dell' operatore, dunque si può automaticamente constatare che gli autovettori dell'operatore sono i due polinomi di Legendre dati?

Beh… Un momento.

È chiaro che se hai un sistema ortonormale completo in $L^2(-1,1)$ (o in ogni altro $L^2$), scegliendo una successione di coefficienti $(c_n)$ con proprietà “sensate” riesci a definire un operatore mediante la posizione che indica il tuo testo (è che è la decomposizione spettrale di $T$).
Tuttavia esistono altri modi di assegnare un operatore, come ad esempio $Tf(x) := int_(-1)^1 phi (x,t) f(t) text(d) t$, con il nucleo $phi$ funzione avente proprietà “sensate”. Questo è il caso del tuo esercizio, in cui l’operatore è definito mediante integrale della funzione $f$ contro il nucleo $phi(x,t) := 1 + xt$.

Quindi, per determinare gli autovalori e le autofunzioni basta sostituire $f(x) = ax +b$ nell’equazione $Tf=lambda f$ e trasformare il problema in un problema di autovalori di Algebra Lineare.
Prova.

Provo.
Ho dunque $Tf(x)=\lambdaf(x)$
$\int_-1^1(at+b)dt+x\int_-1^1t(at+b)dt=\lambda(ax+b)$
salto un po' di calcoli e mi trovo con
$2/3xa+2b=\lambda(ax+b)$
pongo $b=0$ e trovo $\lambda=2/3$
pongo $a=0$ e trovo $\lambda=2$
e questi sono gli autovalori

Da qui in poi non saprei come constatare gli autovettori (facendo calcoli intendo, dimenticando per un attimo la mia considerazione fatta sopra, se corretta)

Per i prossimi punti, ora ci penso

Hai provato non c’è male, ma hai qualcosa da registrare.

Sostituendo trovi, come giustamente hai detto, che l’equazione degli autovalori è soddisfatta solo se $2/3 a x + 2 b = lambda a x + lambda b$, il che, per il Principio di Identità dei Polinomi, è soddisfatta per ogni $x in (-1,1)$ se e solo se risulta $\{ (2/3 a - lambda a = 0), (2b - lambda b = 0):}$.
Visto che la generica autofunzione è non nulla, si tratta di determinare $lambda$ in modo che il sistema nelle incognite $a$ e $b$ ammetta soluzioni non nulle; ciò accade solo se $lambda = 2/3$ o se $ lambda =2$, i quali sono gli autovalori di $T$, e le corrispondenti autofunzioni sono $e_1 = x$ ed $e_2 = 1$.

Vuoi vedere che normalizzando $e_1$ ed $ e_2$ si trovano proprio i polinomi di Legendre?!?


P.S.: Fisico?

[rdlf]

E meno male…

Intendo dire che, sempre seguendo quello che il mio libro dice, ogni operatore può essere definito su un set ortonormale completo $ {e_n} $ in questo modo $ Te_n = c_n e_n $ dove i $ c_n $ sono gli autovalori e gli $ e_n $ sono gli autovettori dell' operatore, dunque si può automaticamente constatare che gli autovettori dell'operatore sono i due polinomi di Legendre dati?

Beh… Un momento.

È chiaro che se hai un sistema ortonormale completo in $ L^2(-1,1) $ (o in ogni altro $ L^2 $), scegliendo una successione di coefficienti $ (c_n) $ con proprietà “sensate” riesci a definire un operatore mediante la posizione che indica il tuo testo (è che è la decomposizione spettrale di $ T $).
Tuttavia esistono altri modi di assegnare un operatore, come ad esempio $ Tf(x) := int_(-1)^1 phi (x,t) f(t) text(d) t $, con il nucleo $ phi $ funzione avente proprietà “sensate”. Questo è il caso del tuo esercizio, in cui l’operatore è definito mediante integrale della funzione $ f $ contro il nucleo $ phi(x,t) := 1 + xt $.

Ritornando a questo punto.
$ Tf(x) := int_(-1)^1 phi (x,t) f(t) text(d) t $ è il modo di assegnare un operatore e mi convinci che è il caso del mio esercizio.
Ciò che mi trae in inganno è proprio il testo dell'esercizio quando recita

Un operatore T ammette la seguente decomposizione spettrale:
$(Tf)(x)=1∫f(t)dt+x∫tf(t)dt$

.
Quindi l'intendere il mio operatore come serie di $c_n$ ed $e_n$ cioé come sommatoria infinita di di autovettori ognuno moltiplicato per il suo autovalore. Nel mio esercizio la decomposizione spettrale mi da' una somma di due elementi, entrambi composti da una funzione (funzione costante $1$ e $x$) che moltiplicano rispettivamente un integrale definito che rappresenterà un numero $\in RR$, corrispondente all' autovalore $\lambda$ cercato.

Da qui, assumendo che siano corretti $1$ e $x$ come eigenvectors sfrutto la relazione $Tf=\lambdaf$ con $T(1)=2$ e $T(x)=\frac{2}{3}x \implies \lambda=2, \lambda=\frac{2}{3}$. Come vedi i risultati ritornano, ma il ragionamento che ho fatto è corretto? Avrai notato che sto usando questo esercizio per capire anche le falle che ho nella teoria.
Con matura consapevolezza delle cose matematica, mi fai ben notare che se normalizzati in norma $L^2(-1,1)$, $1$ e $x$ divengono esattamente $P_0(t)$ e $P_1(t)$.
Tant'è che
$T(P_0)=T(1/\sqrt2)=2\frac{1}{\sqrt2} \implies \lambda=2$
$T(P_1)=T(\sqrt\frac{3}{2}t)=\frac{2}{3}\sqrt\frac{3}{2}x$(*)$\implies \lambda=2/3$

Dunque possiamo dire che ai fini del primo punto, l'aver fornite nel testo i primi due polinomi di L. normalizzati sono un mezzo suggerimento per poter immediatamente affermare che gli autovalori sono $1$ e $x$, o equivalentemente, se normalizzati a 1, $1/sqrt2$ e $\sqrt\frac{3}{2}t$

(*)Faccio una domanda probabilmente stupida e sicuramente confusionaria: L'operatore T qui definito non dovrebbe essere applicato a una funzione di $x$ per restituire valori in $t$?; se assumo che sia giusto quello che ho fatto nella riga presente l'asterisco, devo assumere che $\sqrt\frac{2}{3}t=\sqrt\frac{2}{3}x$? ma non capisco perché! cosa mi sta a significare che $x=t$

Tornando a ragionare sulla decomposizione spettrale. E' corretto se dico che i polinomi di Legendre formano un sistema ortonormale completo in $L^2(-1,1)$ dunque l' operatore dell' esercizio può essere definito come serie autovettori moltiplicati ognuno per il suo autovalore. In questo caso $T$ viene definito dalla serie di tutti i polinomi di L., solo i primi due con $\lambda \ne0$, dunque tutte i restanti restanti autovettori (che gli infiniti polinomi di Legendre) hanno tutte come autovalore $\lambda=0$, ese ben ricordo da Geometria, la dimensione del $Ker(f)$ si può definire come pari al numero di autovettori associati all' autovalore $\lambda=0$ che qui sono infiniti. Quindi $Dim(Ker(f))=\infty$

Se provo a farlo coi calcolozzi devo imporre $Tf=0$ ,cioé:
$\int_-1^1(at+b)dt+x\int_-1^1t(at+b)dt=0$
$2/3xa+2b=0 \implies b=-1/3xa\dot , \forall a \in \RR$
quindi se $f(t)=ax+b$ è corretto dire che gli elementi del nucleo sono infiniti e tutti della forma $f(t)= ax-1/3xa=2/3xa$?
(Direi di no perché se prendo $a=3/2$ mi ritrovo l'autofunzione $f(t)=x$ che non fa parte del nucleo, ma vorrei capire dove sto sbagliando.)
Mentre continuo a pensarci mi dedico all'ultimo punto.Intanto grazie mille per l'aiuto e scusa la confusione tremenda!

P.S.: Fisico?

Yep

[gugo82]

Proprio il testo dell’esercizio non mi piace granché da matematico, ma è un testo giusto per un fisico.
E se avessi capito prima la faccenda ti avrei risposto in maniera diversa… Come sto per fare ora, anche senza preoccuparmi troppo di inserire le ipotesi giuste per far funzionare tutto a puntino.

Rivediamo un momento la legge di assegnazione di $T$ e reinterpretiamola nell’ottica della decomposizione spettrale che piace assai a voi fisici.

Supponiamo di avere un operatore $T:L^2 -> L^2$ con autovalori $(lambda_n)$ (non necessariamente distinti e, in tal caso, ognuno ripetuto secondo la propria molteplicità geometrica) e relative autofunzioni $(e_n)$ (tutte distinte) che formano un sistema ortogonale completo, di $L^2$: ciò equivale a dire che $Te_n = lambda e_n$ per ogni $n in NN$, che $<< e_m ,e_n >> \{ (=0, text(, se ) m!= n), (!= 0 , text(, se ) m=n) :}$ e che $text(span)\{ e_0, …, e_n, …\}$ è denso in $L^2$.¹
Ora, dato che per ogni $f in L^2$ si ha $ f = sum_(n=0)^oo (<< f, e_n >>)/(||e_n||^2)\ e_n$ (che si semplifica in $ f = sum_(n=0)^oo << f, e_n >>\ e_n$ quando il sistema è ortonormale, ossia una base hilbertiana), per linearità e continuità risulta pure $T f = sum_(n=0)^oo (<< f, e_n >>)/(||e_n||^2)\ T e_n = sum_(n=0)^oo (lambda_n)/(||e_n||^2)\ << f, e_n >>\ e_n$ (che diviene $Tf = sum_(n=0)^oo lambda_n\ << f, e_n >>\ e_n$ se il sistema è ortonormale).

Quest’ultima relazione è la cosiddetta rappresentazione spettrale di $T$ e mette in evidenza il fatto che il valore di $Tf$ si può esprimere come somma di infiniti termini, lo $n$-esimo dei quali è costituito da:

• una costante $c_n = lambda_n/(|| e_n||^2)$, in cui sono accorpati l’autovalore $lambda_n$ e la norma $||e_n||$ dell’autofunzione ad esso corrispondente;
  
  
• il prodotto scalare $<< f,e_n >>$ dell’argomento $f$ su cui è calcolato $T$ con l’autofunzione $e_n$ associata all’autovalore $lambda_n$;
  
  
• l’autofunzione $e_n$ associata a $lambda_n$.

Viceversa, se hai un sistema ortogonale completo $(e_n)$ e scegli una successione $(c_n)$, ponendo $Tf := sum_(n=0)^oo c_n\ << f, e_n >>\ e_n$ definisci un operatore lineare continuo tale che $Te_m = c_m\ ||e_m||^2\ e_m$, cosicché le funzioni $e_m$ sono autofunzioni ed ognuna di esse ha associato l’autovalore $lambda_m = c_m\ ||e_m||^2$.

Alla luce di quanto appena scritto, osserva che la legge di assegnazione del tuo operatore $T$ è effettivamente data da una relazione che è una rappresentazione spettrale.
Infatti, posto $e_0=1$, $e_1=x$ e $c_0=c_1=1$, puoi scrivere $Tf = c_0\ << f,e_0>>\ e_0 + c_1\ <<f,e_1>>\ e_1$; d’altra parte, l’insieme $\{e_0, e_1\}$ si può immergere in un sistema ortogonale completo $(e_n)$ di $L^2$ (ad esempio, sfruttando i polinomi di Legendre) e ponendo $c_n=0$ per $n >=2$ la precedente uguaglianza si riscrive proprio $Tf = sum_(n=0)^oo c_n\ <<f,e_n>>\ e_n$ che è una rappresentazione spettrale.

Conseguentemente, dall’assegnazione $Tf = int_(-1)^1 f(t) text(d) t + x int_(-1)^1 t f(t) text(d) t$ puoi dedurre immediatamente che:

• $e_0=1$ ed $e_1=x$ sono autofunzioni di $T$;
  
  
• che gli autovalori associati ad $e_0,e_1$ sono dati da $lambda_0 = ||e_0||^2$ e $ lambda_1 = ||e_1||^2$;
  
  
• che i polinomi di Legendre $P_0,P_1$ sono autovalori di $T$ perché proporzionali a $e_0$ ed $e_1$;
  
  
• che appartengono a $text(Ker)(T)$ tutte le funzioni di $L^2$ che risultano ortogonali a $P_0, P_1$, ossia tutte le funzioni che appartengono alla chiusura dello $text(span) \{ P_n, n >=2\}$, sicché $T$ non è iniettiva (d’altra parte non poteva esserlo anche per motivi dimensionali).

---

Note

1. Come al solito, il simbolo $text(span)$ denota il sottospazio generato da una famiglia di vettori. ↑

[rdlf]

Perdona se non ti ho risposto prima @gugo82.
Ti ringrazio davvero molto per il tuo post, che mi è di grande utilità.

Per completezza ti riporto anche quello che ho pensato per risolvere l'ultimo punto del mio problema:
Sia $f(t)=t-1$ la sua scomposizione sui polinomi di Legandre sarà $t-1=a_0P_0(t)+a_1P_1(t)$
da cui $a_0=-1/sqrt2 \, a_1=\sqrt(2/3)$

$(Tf)(x)=\lambda_0a_0P_0(t)+\lambda_1a_1P_1(t)$
$(T^4f)(x)=2^4a_0P_p+\sqrt(2/3)^4a_1P_1$