Equazione differenziale con Duhamel

[giacomo.lamanna]

Salve a tutti dovrei risolvere un' equazione diffferenziale con l'integrale di Duhamel, io ho studiato come fare in un esame di sismica, e credevo di aver capito, ma ora non riesco ad andare avanti, vorrei sapere sa qualcuno può aiutarmi a se può consigliarmi qualche sito o testo da consultare. vi ringrazio per l'attenzione

L'equazione è la seguente

$ (partial v(t))/(partial t) +lambda *v(t)=chi *(U(t)-Uc) $

Io ho fatto così:

$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*( dbar(v)(t-tau))/dt d tau $

dove

$ bar(v)(t)=1/lambda *(1-e^(-lambda*t )) $

quindi:

$ v(t)=chi *int_(t0)^(t) (U(tau )-Uc)*e^(-lambda(t-tau )) d tau $

a questo punto, facendo l'integrale di un accelerazione, e calcolando il massimo dell'integrale, dovrei trovare la velocità, ma da qui qualsiasi passaggio mi viene in mente mi sembra sbagliato...

[dissonance]

Questa è una equazione differenziale ordinaria, lineare, del primo ordine. Ovvero, essa è
\[
f'=-\lambda f + g,\]
dove \(f=v(t)\) etc etc... La soluzione di questa equazione si ricava facilmente e poi basta sostituire. Ma forse non ho capito la domanda?

[giacomo.lamanna]

Grazie per la risposta.
Non sono molto ferrato nella risoluzione delle equazioni differenziali, quindi se scrivo qualche fesseria perdonatemi
Il problema che ho è che per la funzione v(t) non ho delle condizioni al contorno, questo perchè dipende da u(t), allora volevo usare Duhamel per questo motivo, v(t) varia asseconda di u(t), come se u fosse un impulso, v è una velocità di un corpo, il quale si muove ogni volta che u(t)-g > 0.
Vi ringrazio di nuovo per l'attenzione!