Funzione di Lebesgue-Vitali

[elatan]

Definiamo una successione di funzioni $L_n: [0,1]\to [0,1]$ nel modo seguente:
$$
L_n(0):=0
$$

$$
L_n:=\begin{cases}
\text{funzione lineare con coefficiente angolare}\; \big(\frac{3}{2}\big)^n\;\text{in}\; K_n \\
\text{costante su ogni intervallo di}\; [0,1]\setminus K_n
\end{cases}
$$
where $K_n$ è l'unione degli intervalli che rimangono ad ogni passo nella costruzione dell'insieme di Cantor.

Per esempio,
$$
L_1(x):=\begin{cases}
\frac{3}{2}x\quad x\in\big[0,\frac{1}{3}\big]\\
\frac{1}{2}\quad x\in\big(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\big)\\
\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\quad x\in\big[\frac{2}{3},1\big]
\end{cases}
$$
in questo caso $K_1=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1].$

Per $n=2$ abbiamo
$$
L_2(x):=\begin{cases}
\frac{9}{4}x\quad x\in\big[0,\frac{1}{9}\big]\\
\frac{1}{4}\quad x\in\big(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\big)\\
\frac{9}{4}x-\frac{1}{4}\quad x\in\big[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\big]\\
\frac{1}{2}\quad x\in\big(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\big)\\
\frac{9}{4}x-1\quad x\in\big[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\big]\\
\frac{3}{4}\quad x\in\big(\frac{7}{9},\frac{8}{9}\big)\\
\frac{9}{4}x-\frac{5}{4}\quad x\in\big[\frac{8}{9},1\big]\\
\end{cases}
$$

in questo caso $K_2=[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup[\frac{8}{9},1]$.

Il mio testo a questo punto fa la seguente osservazione:

Poiché $\lambda(K_n)=(\frac{2}{3})^n$, $L_n(1)=1$. Sarà una banalità, ma non riesco a capire il perché Qualcuno cortesemente potrebbe darmi qualche delucidazione?

Grazie a tutti.

[Euclidino]

Quanti intervalli ci sono in $K_n$ ?
Qual è la lunghezza di ogni intervallo di $K_n$ ?
In ciascuno di questi intervalli, di quanto la funzione $f$ cresce ?
Qual è la crecita totale di $f$?

[elatan]

Grazie per la risposta, allora in $K_n$ ci sono $2^n$ intervalli di lunghezza $\frac{1}{3^n}$.

Cosa intendi quando dici: "in ciascuno di questi intervalli di quanto cresce la funzione $f$?"

[gabriella127]

Se si fa qualche conto si vede, mi sembra, che su ognuno degli intervalli in $K_n$ la funzione $L_n$ cresce di $1/2^n$, essendo gli intervalli di ogni $K_n$ in numero di $2^n$, la funzione cresce complessivamente di $1$. Quindi $L_n(1)$ deve essere per forza $1$, per ogni $n$.
Certo mi sembra che dirlo come è detto sul tuo libro, elatan, non si capisce niente, si capisce come lo ha detto euclidino.

[elatan]

Gentile gabriella127, grazie per la risposta.

Credo, però, che la funzione $L_n$ cresca con coefficiente angolare $(\frac{3}{2})^n$, quindi utilizzando il ragionamento di Euclidino si ha $$2^n\cdot\bigg(\frac{1}{3^n}\bigg)\cdot \bigg(\frac{3}{2}\bigg)^n=1.$$

[gabriella127]

E' così, è la stessa cosa, se fai $(1/3^n)(3/2)^n$ viene $1/2^n$ (che è la crescita della funzione in un singolo intervallo di $K^n$), che poi moltiplichi per $2^n$ e viene $1$.