1) Dati $X,Y$ due $k$ spazi vettoriali e sia $T:X->Y$ un operatore lineare continuo, ho mostrato che se la composizione $T^n$ converge in norma operatoriale a $0$ il suo raggio spettrale deve essere $leq1$
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basta considerare che se $(lambda, x)$ è una coppia autovalore/autovettore
essendo $xne0$
$abs(lambda)^(n) norm(x)=norm(T^n x)leqnorm(T^n)norm(x)->0 => abs(lambda)<1$
essendo $xne0$
mi chiedevo se, senza specificare la dimensione dello spazio vettoriale e magari aggiungendo qualche ipotesi(tipo l'essere di Banach) fosse possibile dimostrare anche il viceversa.
2) Perché quando si parla della differenziabilità di funzioni tra spazi normati molto spesso si suppone che essi siano spazi di Banach?