proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive
Inviato: 09/09/2019, 02:11
salve ragazzi,
nel corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici (premetto studiamo solo sistemi causali) mi è stata proposta come definizione di Tempo-invarianza di un sistema dinamico
$ { ( dot(x) = f(x,u,t) ),( y = g(x,u,t) ):} $
l' indipendenza delle funzioni $ f $ e $ g $ dal tempo esplicitamente, ovvero
$ f(x,u,t) = f(x,u);$
$ g(x,u,t) = g(x,u); $
con x vettore di stato, u di ingresso e y d'uscita ( rappresentazione ISU )
Tuttavia in una delle lezioni è stato giustificato il fatto che, in un sistema LTI in cui ad un ingresso $ tilde(u) $ corrisponde un'uscita $ tilde(y) $ , all' ingresso traslato $ tilde(u)(t-bar(t) ) $ corrispondesse l' uscita $ tilde(y)(t-bar(t) ) $, attraverso la proprità di tempo-invarianza ( ovviamente senza entrare nel dettaglio motivo per cui non ho capito ): intuitivamente ne capisco il senso, ma matematicamente non capisco come poter dimostrare la relazione tra queste due affermazioni, cioè partendo dall' indipendenza di f() e g() esplicitamente da t, come dimostro che ad un ingresso traslato corrisponde un' uscita ugualmente traslata?
un' altro dubbio riguardante la tempo-invarianza è la conseguente possibilità di scegliere, in un intervallo di osservazione di durata T, qualsiasi istante iniziale, di nuovo ne capisco il senso solo intuitivamente.
ultimo dubbio riguarda la matrice delle risposte impulsive (nello stato/nell'uscita) e in particolare il fatto che, studiando sistemi in cui l'ingresso è applicato da un certo istante $ t_0 $ in poi, questa sia matrice nulla per tutti gli istanti precedenti in cui l'ingresso non è applicato, mi serve comprendere questa cosa perchè fondamentale per un passaggio di una dimostrazione.
grazie per il vostro aiuto
nel corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici (premetto studiamo solo sistemi causali) mi è stata proposta come definizione di Tempo-invarianza di un sistema dinamico
$ { ( dot(x) = f(x,u,t) ),( y = g(x,u,t) ):} $
l' indipendenza delle funzioni $ f $ e $ g $ dal tempo esplicitamente, ovvero
$ f(x,u,t) = f(x,u);$
$ g(x,u,t) = g(x,u); $
con x vettore di stato, u di ingresso e y d'uscita ( rappresentazione ISU )
Tuttavia in una delle lezioni è stato giustificato il fatto che, in un sistema LTI in cui ad un ingresso $ tilde(u) $ corrisponde un'uscita $ tilde(y) $ , all' ingresso traslato $ tilde(u)(t-bar(t) ) $ corrispondesse l' uscita $ tilde(y)(t-bar(t) ) $, attraverso la proprità di tempo-invarianza ( ovviamente senza entrare nel dettaglio motivo per cui non ho capito ): intuitivamente ne capisco il senso, ma matematicamente non capisco come poter dimostrare la relazione tra queste due affermazioni, cioè partendo dall' indipendenza di f() e g() esplicitamente da t, come dimostro che ad un ingresso traslato corrisponde un' uscita ugualmente traslata?
un' altro dubbio riguardante la tempo-invarianza è la conseguente possibilità di scegliere, in un intervallo di osservazione di durata T, qualsiasi istante iniziale, di nuovo ne capisco il senso solo intuitivamente.
ultimo dubbio riguarda la matrice delle risposte impulsive (nello stato/nell'uscita) e in particolare il fatto che, studiando sistemi in cui l'ingresso è applicato da un certo istante $ t_0 $ in poi, questa sia matrice nulla per tutti gli istanti precedenti in cui l'ingresso non è applicato, mi serve comprendere questa cosa perchè fondamentale per un passaggio di una dimostrazione.
grazie per il vostro aiuto