nonostante il prof non abbia dato una definizione rigorosa del polinomio minimo m(s) di una matrice quadrata A, ha affermato che gli autovalori della matrice compaiono nel polinomio minimo con una molteplicità pari alla molteplicità geometrica, quindi nel caso di A diagonalizzabile dovrei avere una coincidenza tra polinomio minimo e caratteristico.
Ora, cercavo di calcolare la matrice esponenziale $ e^(At) $ della matrice $ A=( ( 1,2,1 ),( 0,2,0 ),( 1,-2,1 ) ) $ che è facilmente dimostrabile essere diagonalizzabile poichè uno dei suoi autovalori, $ lambda_2 = 2 $ ha molteplicità sia algebrica che geometrica pari a 2. Per calcolare la matrice esponenziale uso il dominio operativo di laplace ovvero calcolo la matrice $ Phi(s) = (sI-A)^-1= (E(s))/(m(s)) $ con E(s) matrice di polinomi e m(s) polinomio minimo ( è proprio questo il modo in cui è stato presentato questo polinomio, senza darne una rigorosa definizione ma proprio come polinomio al denominatore della funzione di transizione trasformata una volta che sono stati semplificati tutti i fattori in comune tra i polinomi di della matrice al numeratore e il polinomio caratteristico nel calcolo della matrice inversa ), poi scompongo in fratti semplici (estendendo il metodo al caso matriciale) e infine antritrasformo trovando la matrice esponenziale. Il problema è che in questo caso, dimostrato che A è diagonalizzabile, dovrei avere polinomio minimo e caratteristico coincidenti, ma nel minimo l' autovalore $ lambda_2 $ compare con molteplicità 1 ( secondo quanto affermato in precedenza avrebbe dovuto comparire con molteplicità 2 ).
Ecco i calcoli (solo del polinomio minimo):
$ Phi(s) = (sI-A)^-1 = 1/(s(s-2)^2)*( ( (s-2)(s-1) , 2(s-2) , s-2 ),( 0 , s(s-2) , 0 ),( s-2 , -2(s-2) , (s-1)(s-2) ) ) = $
$ = 1/(s(s-2))( ( s-1 , 2 , 1 ),( 0 , s , 0 ),( 1 , -2 , s-1 ) ) $
quindi:
$ m(s) = s(s-2) $
sbaglio qualcosa?