Norma di operatore in L^2 ([0,1]x[0,1])
Inviato: 17/09/2019, 16:47
ciao a tutti... avrei bisogno di qualcuno che verificasse che il modo in cui ho risolto questo esercizio è corretto.
la richiesta è la seguente: Dato $ L^2(Q)$ con $Q = [0,1] \times [0,1]$ e l'operatore definito da
\[ Af(x,y) = (x+iy) f(x,y) \]
devo mostrare che $A$ è limitato, e calcolarne la norma.
per il primo punto ho fatto come segue:
$(\int_{Q} |(x+iy)f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq (Sup_{Q} |x+iy| )^{1/2}\int_{Q} |f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq \sqrt{2} ||f||_{2}$
che dimostra la limtatezza.
Per individuare la norma dell'operatore, è corretto prendere una funzione in $L^2(Q)$ e far vedere che per quella funzione $||Af(x,y)||$ è proprio uguale alla stima data dalla limitatezza? Se così fosse ho che $f(x,y) = 1$ è perfettamente rispondente ai requisiti e dimostra che $||A||_{2} = \sqrt{2}$
la richiesta è la seguente: Dato $ L^2(Q)$ con $Q = [0,1] \times [0,1]$ e l'operatore definito da
\[ Af(x,y) = (x+iy) f(x,y) \]
devo mostrare che $A$ è limitato, e calcolarne la norma.
per il primo punto ho fatto come segue:
$(\int_{Q} |(x+iy)f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq (Sup_{Q} |x+iy| )^{1/2}\int_{Q} |f(x,y)|^2 dx dy )^{1/2} \leq \sqrt{2} ||f||_{2}$
che dimostra la limtatezza.
Per individuare la norma dell'operatore, è corretto prendere una funzione in $L^2(Q)$ e far vedere che per quella funzione $||Af(x,y)||$ è proprio uguale alla stima data dalla limitatezza? Se così fosse ho che $f(x,y) = 1$ è perfettamente rispondente ai requisiti e dimostra che $||A||_{2} = \sqrt{2}$