Integrale su curva chiusa

Buonasera, non riesco a risolvere questo integrale: $ oint_(\gamma) \frac{sin\pi z}{(z-1)z^3(z+2)}dz $ dove $ \gamma $ è una curva chiusa, orientata positivamente, di sostegno $ |z+1|=3 $ .

Io ho provato ad applicare il teorema dei residui, e trovandomi un unico polo di ordine 2 in $ z=0 $ come unico polo interno a $ \gamma $ ho provato a calcolare $ lim_(z -> 0) d/dz z^2 \frac{sin(pi z)}{(z-2)z^3(z+1) $ e qua mi blocco. Vorrei capire dove sbaglio. Grazie.

Hai provato, ma male, visto che non riesci a determinare tutte le singolarità interne al contorno d’integrazione.

Inoltre, “e qua mi blocco”… Perché?
Le derivate si impara a calcolarle a scuola, usualmente. Dov’è il problema?

Il problema sta nel calcolo del limite, la derivata l'ho calcolata ed è esatta, però quando vado a calcolare il limite:
$ lim_(z -> 0)\frac{\picos(\pi z)(z-2)z(z+1)-sin(\pi z)(3z^2-2z-2)}{(z-2)^2z^2(z+1)^2} $ non so come procedere. So peraltro, che questo è il solo e unico problema, in quanto calcolando il limite con wolfram arrivo al risultato dell'integrale atteso.

Sai perché te lo dice un software?
Bel modo di sapere, fidarsi di un programmino piuttosto che della propria testa (o di quella di uno più esperto cui si è chiesto aiuto…).

Ad ogni buon conto, quel limite si risolve usando un po’ di approssimazioni di Taylor, che dovresti saper maneggiare da Analisi I.

Per il resto, valgono le osservazioni che riporto qui sotto in spoiler, così da non rovinare il lavoro a WolframAlpha.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La funzione integranda è olomorfa in $CC \setminus \{0,1,-2\}$; tuttavia i punti singolari $1,-2$ sono eliminabili, per compensazione dell’ordine degli zeri di numeratore e denominatore.
Conseguentemente, la funzione integranda (opportunamente prolungata) ha nell’aperto $Omega := \{ z in CC: |z + 1| < 3\}$ delimitato dal cammino d’integrazione l’unica singolarità $z_0=0$ che, per compensazione di ordini, è polare d’ordine $2$; per questo motivo:

$int_(+gamma) f(z) text(d) z = 2 pi i\ text(Res)(f;0)$.

Per noti fatti:

$text(Res)(f;0) = lim_(z -> 0) (text(d))/(text(d) z) [z^2 f(z)] = lim_(z -> 0) (text(d))/(text(d) z) [(sin(pi z))/(z(z-1)(z+2))] lim_(z -> 0) (pi cos(pi z) z(z-1)(z+2) - sin(pi z)(3z^2+2z-2))/(z^2(z-1)^2(z+2)^2) = lim_(z -> 0) (- pi z^2)/(4z^2) = - pi/4$,

dunque:

$int_(+gamma) f(z) text(d) z = - pi^2/2 i$.

@Ingegnato: comunque mi piace il nick! sei uno che si ingegna

Ok, grazie per il dubbio risolto! Nel merito di WolframAlpha volevo solo dire che non sostituisce in alcun modo l'aiuto dell'esperto e nemmeno la mia testa per fare i calcoli, bensì lo uso come valido strumento di verifica dei miei calcoli, dato che spesso e volentieri mi capita di sbagliare.