Trovare funzione analitica a partire dalla funzione parte reale.
Inviato: 08/10/2019, 23:02
Trovare la funzione analitica \( f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \) a partire da
\[ u(x,y)= e^x(x \cos y - y \sin y) + 2 \sin x \sinh y + x^3 -3xy^3 + y \]
Allora siccome dev'essere analitca, ergo olomorfa, deve soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann pertanto
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ; \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y} =- \frac{\partial v}{\partial x} \]
Dunque abbiamo che
\[\frac{\partial u}{\partial x}=e^x(x \cos y - y \sin y + \cos y) + 2 \cos x \sinh y + 3x^2 -3y^3 \]
\[\frac{\partial u}{\partial y}=e^x(-x\sin y - \sin y - y \cos y) + 2 \sin x \cosh y -9xy^2 + 1\]
Ora integro la prima espressione per rapporto a \( y \) e ottengo
\[ e^x \int x \cos y - y \sin y + \cos y dy = e^x (x \sin y - \sin y + y \cos y+ \sin y) + C_1(x)= e^x(x \sin y + y \cos y ) + C_1(x)\]
\[ \int 2 \cos x \sinh y dy = 2 \cos x \cosh y + C_2(x)\]
\[ \int 3x^2 -3y^3dy = 3x^2y - \frac{3}{4}y^4+ C_3(x)\]
Pertanto \[ v(x,y)=e^x(x \sin y + y \cos y ) +2 \cos x \cosh y + 3x^2y - \frac{3}{4}y^4+C(x)\]
Pertanto derivando
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x(x \sin y + y \cos y + \sin y ) - 2 \sin x \cosh y + 6xy + C'(x) \]
Il problema è che mi mancano dei termini, nel senso con il segno opposto (cosa voluta dalle equazioni di CR) abbiamo i termini trigonometrici. Mi manca il termine \( 9xy^2 \) e il termine \(- 1 \), allora se quest'ultimo non è un problema da ottenere basta dire che \( C(x) = -x \), il termine \( \frac{9}{2}x^2y^2 \) non posso aggiungerlo nella costante poiché mi cambierebbe la derivata rispetto a \( y \) di \( v(x,y) \), inoltre mi avanza un termine che è \( 6xy \). Non capisco dove sbaglio, ho ricontrollato i calcoli più volte...
\[ u(x,y)= e^x(x \cos y - y \sin y) + 2 \sin x \sinh y + x^3 -3xy^3 + y \]
Allora siccome dev'essere analitca, ergo olomorfa, deve soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann pertanto
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} ; \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y} =- \frac{\partial v}{\partial x} \]
Dunque abbiamo che
\[\frac{\partial u}{\partial x}=e^x(x \cos y - y \sin y + \cos y) + 2 \cos x \sinh y + 3x^2 -3y^3 \]
\[\frac{\partial u}{\partial y}=e^x(-x\sin y - \sin y - y \cos y) + 2 \sin x \cosh y -9xy^2 + 1\]
Ora integro la prima espressione per rapporto a \( y \) e ottengo
\[ e^x \int x \cos y - y \sin y + \cos y dy = e^x (x \sin y - \sin y + y \cos y+ \sin y) + C_1(x)= e^x(x \sin y + y \cos y ) + C_1(x)\]
\[ \int 2 \cos x \sinh y dy = 2 \cos x \cosh y + C_2(x)\]
\[ \int 3x^2 -3y^3dy = 3x^2y - \frac{3}{4}y^4+ C_3(x)\]
Pertanto \[ v(x,y)=e^x(x \sin y + y \cos y ) +2 \cos x \cosh y + 3x^2y - \frac{3}{4}y^4+C(x)\]
Pertanto derivando
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x(x \sin y + y \cos y + \sin y ) - 2 \sin x \cosh y + 6xy + C'(x) \]
Il problema è che mi mancano dei termini, nel senso con il segno opposto (cosa voluta dalle equazioni di CR) abbiamo i termini trigonometrici. Mi manca il termine \( 9xy^2 \) e il termine \(- 1 \), allora se quest'ultimo non è un problema da ottenere basta dire che \( C(x) = -x \), il termine \( \frac{9}{2}x^2y^2 \) non posso aggiungerlo nella costante poiché mi cambierebbe la derivata rispetto a \( y \) di \( v(x,y) \), inoltre mi avanza un termine che è \( 6xy \). Non capisco dove sbaglio, ho ricontrollato i calcoli più volte...