Integrale a valor principale

[Ianya]

Buon pomeriggio
Ho un problema con un esempio del teorema della convergenza dominata di Lebesgue perché, ad un certo punto, mi ritrovo con il limite di un integrale che, per essere calcolato, si basa sul fatto che la funzione $f(x) =1/(x^n - 1)$ sia integrabile a valor principale in $(0, +infty) $ ma non capisco perché lo sia.
Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo

[gugo82]

Non vedo cosa c’entri l’integrale a valor principale con quello di Lebesgue, visto che l’esistenza del primo non implica in alcun modo quella del secondo (viceversa, sì)… Ma comunque tieni presente che $1/(x^n - 1) = 1/(x-1) * 1/(text(roba positiva in 1))$, dunque rozzamente $1/(x^n - 1)$ è integrabile nel senso del v.p. in $1$ perché tale è $1/(x-1)$.

[Ianya]

Non vedo cosa c’entri l’integrale a valor principale con quello di Lebesgue, visto che l’esistenza del primo non implica in alcun modo quella del secondo (viceversa, sì)… Ma comunque tieni presente che $1/(x^n - 1) = 1/(x-1) * 1/(text(roba positiva in 1))$, dunque rozzamente $1/(x^n - 1)$ è integrabile nel senso del v.p. in $1$ perché tale è $1/(x-1)$.

Forse non mi sono espressa bene. Tra gli esempi relativi al teorema della convergente dominata, partendo dalla successione di funzioni $f_n (x) = log x / (x^n - 1) $,per poter calcolare gli integrali per verificare quanto affermato dal teorema, per quanto riguarda l'integrale della funzione limite usando non il I teorema dei residui ma utilizzando Grande e Piccolo Cerchio, ad un certo punto ho bisogno di quella integrabilità a valor principale

Comunque grazie

[pilloeffe]

Ciao Ianya,

Se ho capito bene ti interessa

$\int_0^{+\infty} 1/(x^n - 1) \text{d}x $

e se non ho sbagliato i conti tale integrale è calcolabile direttamente.
Posto $t := 1/(x^n - 1) \implies x^n - 1 = 1/t \implies x = (1 + 1/t)^{1/n} \implies \text{d}x = - frac{(1 + 1/t)^{1/n - 1}}{nt^2} \text{d}t $, per $x = 0 $ si ha $t = - 1 $, per $x \to +\infty $ si ha $t = 0 $, per cui l'integrale proposto diventa il seguente:

$\int_0^{+\infty} 1/(x^n - 1) \text{d}x = \int_{-1}^{0} - frac{(1 + 1/t)^{1/n - 1}}{nt} \text{d}t = - 1/n \int_{-1}^{0} 1/t \cdot (1 + 1/t)^{1/n - 1} \text{d}t $

Se ora poniamo $u := - t \implies \text{d}u = - \text{d}t $, per $t = - 1 $ si ha $u = 1 $ mentre per $t = 0 $ si ha $u = 0 $ e quindi l'integrale diventa il seguente:

$\int_0^{+\infty} 1/(x^n - 1) \text{d}x = - 1/n \int_{-1}^{0} 1/t \cdot (1 + 1/t)^{1/n - 1} \text{d}t = 1/n \int_{0}^{1} 1/u \cdot (1 - 1/u)^{1/n - 1} \text{d}u = $
$ = 1/n \int_{0}^{1} u^-1 \cdot ((u - 1)/u)^{1/n - 1} \text{d}u = 1/n \int_{0}^{1} u^{-1/n} \cdot ((u - 1)/u)^{1/n - 1} \text{d}u = $
$ = (-1)^{1/n - 1}/n \int_{0}^{1} u^{-1/n} \cdot (1 - u)^{1/n - 1} \text{d}u = (-1)^{1/n - 1}/n \int_{0}^{1} u^{(1-1/n) - 1} \cdot (1 - u)^{1/n - 1} \text{d}u = $
$ = (-1)^{1/n - 1}/n \cdot B(1/n, 1 - 1/n) = (-1)^{1/n - 1}/n \cdot \frac{\Gamma(1/n)\cdot \Gamma(1 - 1/n)}{\Gamma(1/n + 1 - 1/n)} = (-1)^{1/n - 1}/n \cdot \frac{\Gamma(1/n)\cdot \Gamma(1 - 1/n)}{\Gamma(1)} = $
$ = (-1)^{1/n - 1}/n \cdot \Gamma(1/n)\cdot \Gamma(1 - 1/n) = (-1)^{1/n - 1}/n \cdot \frac{\pi}{sin(\pi/n)} = (-1)^{1/n - 1} \cdot \frac{\pi/n}{sin(\pi/n)} $

per $ n > 1 $.

[Ianya]

L'integrale che devo calcolare io è tra $ 1 - epsilon $ ed $ 1 + epsilon $ quando $ epsilon $ tende a 0 che, grazie all'integrabilità a valor principale intorno ad 1, è 0. Non avevo capito da cosa si potesse dedurre l'integrabilità a v. p. di quella funzione in $(0, +infty) $
Grazie comunque