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Formula integrale di Schwarz

14/10/2019, 17:40

Salve, mi blocco nel punto (3) di questo esercizio
Sia \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) per qualche \( \epsilon \).
(1) Dimostra che
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it}) dt;\]
(2) Dimostra che per tutti \( z \in D(0,1) \)
\[ f(0) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt;\]
(3) Dedurre la formula integrale di Schwarz, con \( z \in D(0,1) \).
\[ f(z) = i \Im (f(0)) +\frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt;\]

Allora io ho fatto in questa maniera
\[ f(z) = f(z) - f(0) + f(0) = f(z) - f(0) + \Re(f(0)) + i \Im(f(0))= f(z) +\frac{1}{2}(\overline{ f(0)} - f(0) ) + i \Im(f(0)) \]
Voglio dimostrare che
\[ f(z) +\frac{1}{2}(\overline{ f(0)} - f(0) ) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt \]
Uso il punto (1) e il punto (2) nel seguente modo
\[ = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it})dt + \overline{\frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt} - \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt \]
\[ = \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it})dt + \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{-it}z}{1-e^{-it}z} \overline{f(e^{it})} dt - \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt \]
\[ = \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi}\left( \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \right) f(e^{it})dt + \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \overline{f(e^{it})} dt \]
Ma da qui in poi mi blocco...
dovrei ottenere
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} = \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \]
così posso fare
\[ = \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \frac{1}{2} \left(f(e^{it}) +\overline{f(e^{it})} \right) dt = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt \]
Ma mi sembra falso, anche perché sarebbe vero
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}=\frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \]
e quindi
\[ \frac{e^{it}-z}{e^{it}-z}=\frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \]
e quindi
\[ 1=\frac{e^{-it}+\overline{z}}{e^{-it}-\overline{z}} \]
cosa falsa... e quindi boh :?

Re: Formula integrale di Schwarz

14/10/2019, 18:21

vedi se questo ti convince, purtroppo devo scendere.

se vale la formula integrale di Cauchy(e vale) $f(z)=1/(2pi i)oint_(gamma)f(xi)/(xi-z)d xi$
poni $gamma(t)=e^(it)$ definita su $0,2pi$

allora $f(z)=1/(2pi i)int_(0)^(2pi)(f(e^(it)))/(e^(it)-z)ie^(it)dt$ per tutti i punti che non stanno sul bordo del disco unitario.
Sostanzialmente le ipotesi ti starebbero dicendo che $f$ è olomorfa su $D(0,1)$ se non sbaglio1

Note

  1. $D(0,1)subsetB(0,1+epsilon)subsetD(0,1+epsilon)$

Re: Formula integrale di Schwarz

14/10/2019, 23:27

anto_zoolander ha scritto:vedi se questo ti convince, purtroppo devo scendere.


Devi scendere ?
anto_zoolander ha scritto:Sostanzialmente le ipotesi ti starebbero dicendo che $f$ è olomorfa su $D(0,1)$ se non sbaglio

Nelle ipotesi c'è già che \( f \) analitica su \( D(0,1+ \epsilon) \) (quindi olomorfa), pertanto credo che in automatico lo sia su \( D(0,1) \).
anto_zoolander ha scritto:se vale la formula integrale di Cauchy(e vale) $f(z)=1/(2pi i)oint_(gamma)f(xi)/(xi-z)d xi$
poni $gamma(t)=e^(it)$ definita su $0,2pi$

allora $f(z)=1/(2pi i)int_(0)^(2pi)(f(e^(it)))/(e^(it)-z)ie^(it)dt$ per tutti i punti che non stanno sul bordo del disco unitario.

Ti ringrazio molto, ma il punto (1) e il punto (2) gli avevo risolti, credo con successo. Era, ed è, il punto (3) il problema.

Per il punto (1) appunto preso \( \gamma : [0,2 \pi] \to \partial D(0,1) \), come \( \gamma(t)=e^{it} \) abbiamo per la formula integrale di Cauchy che
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(\xi)}{\xi - z} d\xi = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}}{e^{it}- z}f(e^{it})dt \]
e dunque è verificato \( \forall z \in D(0,1) \)

Per il punto (2) abbiamo che se definiamo per ogni \(z \in D(0,1) \), \( g_z(\xi):= f(\xi)\frac{1+\xi \overline{z}}{1-\xi \overline{z}} \), notiamo che \( g(0)=f(0) \), abbiamo inoltre che se \(f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) anche \( g_z \) analitica in \( D(0,1) \)1, \( \forall z \in D(0,1) \), allora per il punto (1) risulta che
\[ f(0)=g_z(0)=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g_z(e^{it})dt =\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(e^{it})\frac{1+e^{it} \overline{z}}{1-e^{it} \overline{z}}dt \]

Note

  1. tolgo il \(+\epsilon \) dal disco perché credo che altrimenti avremmo un punto di discontinuità in 1 nella \(g_z\) e dopo il punto (1) non vale più, ed è credo anche il motivo per cui vale per ogni \( z \in D(0,1) \), altrimenti non mi spiego il perché richiedere \( z \in D(0,1) \)

Re: Formula integrale di Schwarz

15/10/2019, 22:41

Scusa è un modo di dire che usiamo a Palermo per dire “sto uscendo di casa” :lol:

Ho messo quel commento sui primi due punti perché non mi sembravi persuaso.
Al momento non mi viene nulla per il terzo, se riesco(sono in crisi con algebra) domani gli dedico una qualche minuto, spero che qualcuno ti risponda prima :?

Re: Formula integrale di Schwarz

16/10/2019, 13:09

anto_zoolander ha scritto:Sostanzialmente le ipotesi ti starebbero dicendo che $f$ è olomorfa su $D(0,1)$ se non sbaglio

No. Le ipotesi stanno dicendo che \(f\) è olomorfa su \(D(0, 1+\epsilon)\), punto. È una cosa diversa, perché una funzione olomorfa su \(D(0, 1)\) potrebbe avere una singolarità sul bordo; ad esempio, \(f(z)=(1-z)^{-1}\).

Re: Formula integrale di Schwarz

16/10/2019, 15:47

Ciao Peppe
L’ho scritto perché secondo la definizione cui mi rifaccio una funzione è olomorfa su un insieme $X$ non aperto e non vuoto se è olomorfa in qualche aperto $A$ contente $X$

Re: Formula integrale di Schwarz

16/10/2019, 15:59

Ciao dissonance
1) non ci ho capito una mazza oppure 2) hai mal interpretato la notazione del prof di \( D(0,1+\epsilon) \).
Per \( D(0,1+\epsilon) := \{ z \in \mathbb{C} : \left| z \right| < 1 + \epsilon \} \). Se \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) è olomorfa in tutti i punti \( z \in D(0,1+\epsilon) \) e quindi anche per tutti i punti di \( z' \in D(0,1) \subset D(0,1+\epsilon) \). Quindi \( f \) olomorfa (e analitica) in \( D(0,1) \).
Il tuo contro-esempio non è un contro esempio perché non è analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) in quanto ha una singolarità in \( 1 \in D(0,1+\epsilon)\).
Una funzione olomorfa su \( D(0,1+\epsilon) \) è olomorfa su \( D(0,1) \). La proposizione reciproca è falsa e il tuo esempio è un contro-esempio per la reciproca.

Equivalentemente potremmo dire che se \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \)
\[ f(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k z^k \]
con raggio di convergenza \( \rho = 1+\epsilon \). Ma la \( (1-z)^{-1} \) non ha raggio di convergenza \( 1 + \epsilon \), ergo non è analitica in \( D(0,1+ \epsilon) \).

Re: Formula integrale di Schwarz

16/10/2019, 16:03

3m0o ha scritto:Ciao dissonance
1) non ci ho capito una mazza oppure 2) hai mal interpretato la notazione del prof di \( D(0,1+\epsilon) \).
Per \( D(0,1+\epsilon) := \{ z \in \mathbb{C} : \left| z \right| < 1 + \epsilon \} \). Se \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) è olomorfa in tutti i punti \( z \in D(0,1+\epsilon) \) e quindi anche per tutti i punti di \( z' \in D(0,1) \subset D(0,1+\epsilon) \). Quindi \( f \) olomorfa (e analitica) in \( D(0,1) \).
Il tuo contro-esempio non è un contro esempio perché non è analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) in quanto ha una singolarità in \( 1 \in D(0,1+\epsilon)\).
Una funzione olomorfa su \( D(0,1+\epsilon) \) è olomorfa su \( D(0,1) \). La proposizione reciproca è falsa e il tuo esempio è un contro-esempio per la reciproca.

Equivalentemente potremmo dire che se \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \)
\[ f(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k z^k \]
con raggio di convergenza \( \rho = 1+\epsilon \). Ma la \( (1-z)^{-1} \) non ha raggio di convergenza \( 1 + \epsilon \), ergo non è analitica in \( D(0,1+ \epsilon) \).


3) ti riferivi ad anto e non a me e il tuo contro esempio è un contro-esempio... scusa!

anto_zoolander ha scritto:Ciao Peppe
L’ho scritto perché secondo la definizione cui mi rifaccio una funzione è olomorfa su un insieme $ X $ non aperto e non vuoto se è olomorfa in qualche aperto $ A $ contente $ X $

Ma \( D(0,1) \) è un aperto e non un non aperto.

Re: Formula integrale di Schwarz

16/10/2019, 16:35

Ah $D$ non sta per “disk”(cioè quello chiuso)? Lol allora ho capito male io la notazione.

Re: Formula integrale di Schwarz

16/10/2019, 16:38

anto_zoolander ha scritto:Ah $D$ non sta per “disk”(cioè quello chiuso)? Lol allora ho capito male io la notazione.

Sta per disco, sì, ma il mio prof specifica se aperto o chiuso, e lo nota \( D \) e rispettivamente \( \overline{D} \).
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