Dubbio condizione iniziale formule di lagrange

salve ragazzi, ripeto in vista dell esame e ho notato una cosa che mi ha suscitato un dubbio: dimostriamo la validità delle formule di lagrange per sistemi dinamici lineari e tempo-invarianti attraverso il metodo induttivo, in particolare arrivo al passaggio
$ x(t) = e^(A(t-t_0))*c + int_(t_0)^(t) e^(A(t-tau))*B*u(tau) d tau $ .

Per dimostrare che
$ c = x(t_0) $
il prof particolarizza la funzione $x(t)$ in $t_0$, dunque la matrice esponenziale che moltiplica $c$ diventa la matrice identità ( $A$ è matrice quadrata di dimensione $n$ mentre $x(t)$ e $c$ vettori colonna di dim $n$ ),
e ora viene il dubbio:
se faccio l'integrale tra $ (t_0) $ e $ (t_0) $, qualsiasi sia la funzione integranda, se regolare, viene $vec(0)$, ma se $ u(t) = delta(t) $ , vale ancora $vec(0)$ ( per wolfram alpha la risposta è affermativa perchè restituisce 0 se si prova a calcolare l'integrale della Delta di Dirac in 0 tra 0 e 0, ma vorrei essere teoricamente indipendente da un calcolatore ) ? invece se faccio il $ lim_(t->t_0)x(t) $, nel caso di $ u(t) = delta(t) $, esso per certo è non nullo: in questo caso il valore di $c$ non verrebbe pari a $x(t_0)$; in più durante la spiegazione il prof afferma che dobbiamo fare l'ipotesi che $u(t)$ non sia impulsiva in $t_0$ ma poi dedica un'intera lezione alla risposta IMPULSIVA, il che annulla questa ipotesi.

**$vec(1)$ è vettore colonna di 1 di dim $n$
**$vec(0)$ analogamente rispetto a 0
**$u(t), x(t)$ sono rispettivamente segnale di ingresso e movimento dello stato del sistema LTI

Beh, innanzitutto $delta$ non è una funzione, ma un oggetto decisamente più complicato (una misura? una distribuzione? Scegli tu)... Quindi non ha senso parlare del suo valore assunto in un punto.

Seconda cosa, la formula risolutiva vale sotto alcune ipotesi (come ogni teorema che si rispetti): quali? Esse includono il caso impulsivo? Se no, possono includerlo?


P.S.: Ma un esame di Metodi Matematici/Analisi III prima di Sistemi Dinamici no?

Secondo me si tratta di una domanda legittima, comunque. Questa è una di quelle cose che i libri non dicono, a cui bisogna arrivare con riflessioni autonome. La risposta è che scritture come
\[
\int_0^a \delta(x)\, dx\]
NON hanno senso. Noi siamo abituati a scrivere \(\int_a^b f(x)\, dx\), perché se l'integranda è una funzione allora
\[\tag{1}
\int_{[a, b]} f(x)\, dx = \int_{[a, b)}f(x)\, dx=\int_{(a, b)}f(x)\, dx = \int_{(a, b]} f(x)\, dx.\]
Ma se l'integranda è una misura, come la \(\delta\), allora la (1) potrebbe non essere vera. Infatti,
\[
\int_{[0, 1]}\delta(x)\, dx = \int_{[0, 1)}\delta(x)\, dx = 1\ne 0 =\int_{(0, 1]}\delta(x)\, dx =\int_{(0, 1)}\delta(x)\, dx.\]

Beh, innanzitutto $delta$ non è una funzione, ma un oggetto decisamente più complicato ...

Infatti mi vengono i brividi quando vedo gente usare con disinvoltura la delta di Dirac, perche' poi porta a contraddizioni e confusioni come quelle che vediamo.
Questi oggetti andrebbero somministrati agli studenti un po' come si somministra la morfina ai pazienti: il rischio di assuefazione e quindi che la droga perda la sua efficacia poi e' sempre da tenere sotto controllo.

@Quinzio: mi piace questa analogia tta l'uso della delta di Dirac e la dipendenza dalla droga

Comunque, a parte gli scherzi, capisco cosa tu voglia dire e penso tu abbia ragione.