Dubbio condizione iniziale formule di lagrange
Inviato: 14/10/2019, 19:19
salve ragazzi, ripeto in vista dell esame e ho notato una cosa che mi ha suscitato un dubbio: dimostriamo la validità delle formule di lagrange per sistemi dinamici lineari e tempo-invarianti attraverso il metodo induttivo, in particolare arrivo al passaggio
$ x(t) = e^(A(t-t_0))*c + int_(t_0)^(t) e^(A(t-tau))*B*u(tau) d tau $ .
Per dimostrare che
$ c = x(t_0) $
il prof particolarizza la funzione $x(t)$ in $t_0$, dunque la matrice esponenziale che moltiplica $c$ diventa la matrice identità ( $A$ è matrice quadrata di dimensione $n$ mentre $x(t)$ e $c$ vettori colonna di dim $n$ ),
e ora viene il dubbio:
se faccio l'integrale tra $ (t_0) $ e $ (t_0) $, qualsiasi sia la funzione integranda, se regolare, viene $vec(0)$, ma se $ u(t) = delta(t) $ , vale ancora $vec(0)$ ( per wolfram alpha la risposta è affermativa perchè restituisce 0 se si prova a calcolare l'integrale della Delta di Dirac in 0 tra 0 e 0, ma vorrei essere teoricamente indipendente da un calcolatore ) ? invece se faccio il $ lim_(t->t_0)x(t) $, nel caso di $ u(t) = delta(t) $, esso per certo è non nullo: in questo caso il valore di $c$ non verrebbe pari a $x(t_0)$; in più durante la spiegazione il prof afferma che dobbiamo fare l'ipotesi che $u(t)$ non sia impulsiva in $t_0$ ma poi dedica un'intera lezione alla risposta IMPULSIVA, il che annulla questa ipotesi.
**$vec(1)$ è vettore colonna di 1 di dim $n$
**$vec(0)$ analogamente rispetto a 0
**$u(t), x(t)$ sono rispettivamente segnale di ingresso e movimento dello stato del sistema LTI
$ x(t) = e^(A(t-t_0))*c + int_(t_0)^(t) e^(A(t-tau))*B*u(tau) d tau $ .
Per dimostrare che
$ c = x(t_0) $
il prof particolarizza la funzione $x(t)$ in $t_0$, dunque la matrice esponenziale che moltiplica $c$ diventa la matrice identità ( $A$ è matrice quadrata di dimensione $n$ mentre $x(t)$ e $c$ vettori colonna di dim $n$ ),
e ora viene il dubbio:
se faccio l'integrale tra $ (t_0) $ e $ (t_0) $, qualsiasi sia la funzione integranda, se regolare, viene $vec(0)$, ma se $ u(t) = delta(t) $ , vale ancora $vec(0)$ ( per wolfram alpha la risposta è affermativa perchè restituisce 0 se si prova a calcolare l'integrale della Delta di Dirac in 0 tra 0 e 0, ma vorrei essere teoricamente indipendente da un calcolatore ) ? invece se faccio il $ lim_(t->t_0)x(t) $, nel caso di $ u(t) = delta(t) $, esso per certo è non nullo: in questo caso il valore di $c$ non verrebbe pari a $x(t_0)$; in più durante la spiegazione il prof afferma che dobbiamo fare l'ipotesi che $u(t)$ non sia impulsiva in $t_0$ ma poi dedica un'intera lezione alla risposta IMPULSIVA, il che annulla questa ipotesi.
**$vec(1)$ è vettore colonna di 1 di dim $n$
**$vec(0)$ analogamente rispetto a 0
**$u(t), x(t)$ sono rispettivamente segnale di ingresso e movimento dello stato del sistema LTI