Determinazione log su semplicemente connesso
Inviato: 15/10/2019, 18:10
Non ho capito alcune cose di una dimostrazione della seguente proposizione
Sia \( U \) un aperto semplicemente connesso che non contiene zero, con \( a \in U \). Allora \( L: U \to \mathbb{C} \)
\[ L(z) = \omega + \int_{a}^{z} \frac{1}{\xi} d\xi \]
definisce una determinazione del logaritmo nel senso che \( \exp(L(z))=z \), per tutti i \( z \in U \), se \( e^{\omega} =a \).
Dimostrazione:
Siccome \( U \) è semplicemente connesso la funzione \( L \) è ben definita.
Abbiamo inoltre che \( L(\exp(\omega))=\omega \) per costruzione e in un intorno di \( \omega \) abbiamo \[ (L(\exp(z)))' = \frac{1}{\exp(z)} \exp(z) =1 \]
Su questo intorno abbiamo dunque \( L(\exp(z))= z \) e dunque \( \exp(L(\exp(z))) = \exp(z) \).
Ora, \( \exp \) ha un inversa in un intorno di \( \omega \) e deduciamo che \( \exp(L(z))=z \) su questo intorno.
Per il principio degli zeri isolati abbiamo \( \exp(L(z))=z, \forall z \in U \).
1) Perché è necessario che \( U \) sia semplicemente connesso?
2) A priori potremmo avere che \( \exp(z) \not\in U \) e quindi \( L(\exp(z)) \) è mal definito?
3) Perché il principio degli zeri isolati conclude la dimostrazione? Inoltre il principio degli zeri non necessita dell'analicità della funzione \( L \), cose che non abbiamo a priori in \( U \)?
Sia \( U \) un aperto semplicemente connesso che non contiene zero, con \( a \in U \). Allora \( L: U \to \mathbb{C} \)
\[ L(z) = \omega + \int_{a}^{z} \frac{1}{\xi} d\xi \]
definisce una determinazione del logaritmo nel senso che \( \exp(L(z))=z \), per tutti i \( z \in U \), se \( e^{\omega} =a \).
Dimostrazione:
Siccome \( U \) è semplicemente connesso la funzione \( L \) è ben definita.
Abbiamo inoltre che \( L(\exp(\omega))=\omega \) per costruzione e in un intorno di \( \omega \) abbiamo \[ (L(\exp(z)))' = \frac{1}{\exp(z)} \exp(z) =1 \]
Su questo intorno abbiamo dunque \( L(\exp(z))= z \) e dunque \( \exp(L(\exp(z))) = \exp(z) \).
Ora, \( \exp \) ha un inversa in un intorno di \( \omega \) e deduciamo che \( \exp(L(z))=z \) su questo intorno.
Per il principio degli zeri isolati abbiamo \( \exp(L(z))=z, \forall z \in U \).
1) Perché è necessario che \( U \) sia semplicemente connesso?
2) A priori potremmo avere che \( \exp(z) \not\in U \) e quindi \( L(\exp(z)) \) è mal definito?
3) Perché il principio degli zeri isolati conclude la dimostrazione? Inoltre il principio degli zeri non necessita dell'analicità della funzione \( L \), cose che non abbiamo a priori in \( U \)?