Salve a tutti.
Vi scrivo per dei dubbi in merito allo svolgimento di un esercizio ove si richiede il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier di un segnale (ovviamente periodico).
In particolare io so che la trasformata di Fourier definita dalla seguente espressione:
$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \pi f t} dt$
Se calcolata per per una certa frequenza $f$ restituisce il coefficiente relativo all'armonica di frequenza $f$.
Questo è il legame tra la Trasformata di Fourier e la i coefficienti della serie di Fourier, giusto?
Se questo è vero vi posto il seguente esercizio:
https://ibb.co/ZxKwJzR
Io ho osservatore che il segnale periodico è dato dalla replicazione del segnale generatore
$ x(t)_g = e^(-2|t|)$ di periodo $ T_0 = 1 $
Ciò detto per trovarmi i coefficienti della serie di Fourier sono solito
1) Determinare la Trasformata di Fourier di $x(t)_g$
Che risulta $ 1/(pi^2*f^2 + 1) $
2) Valutarla in $ f = k/T_0 = k $ e moltiplicarla per $ 1/T_0 = 1 $
Ottenendo che $ X_k = 1/(pi^2*k^2 + 1) $
IL MIO DUBBIO, però, è se invece avessi voluto calcolare $ X_k $ mediante la definizione di coefficiente della serie di Fourier?
Avrei dovuto calcolare
$ 1/T_0 * int_(T_0) ( x(t) * e^(-i*2*pi*k*t/T_0)) $
$ 2 * int_(0)^(1/2) (e^(2t)*e^(-i*2*pi*k*t)) $
che mi dà come risultato
$ X_k = -(2 (1 - e^(1 - i π k)))/(2 - 2 i π k) $
Ma, come si vede, i due $ X_k $ non coincidono... sapreste dirmi cosa c'è che non va?
Grazie mille in anticipo