svolgere l'integrale con il teorema dei residui

[leomagicabula]

buongiorno a tutti,
vi propongo un integrale (da risolvere con i residui) che non riesco a risolvere.

$\int_{\mathbb{R}}\frac{x^2}{x^4+1} dx$

Le ho provate tutte:

$\int\frac{z^2}{(z^2+i)(z^2-i)}dz\,$ è quel \((z^2\pm i)\) al denominatore che mi mette a disagio.

Ho provato anche per sostituzione per abbassare il grado del denominatore ponendo \(t=x^2\) e ovviamente \(dt=2xdx\) ma non mi viene.

Ho fatto integrali molto più difficili di questo (con poli al secondo ordine e chi più ne ha più ne metta), ma questo non mi va giù.
Ho addirittura calcolato le radici di \(z^4+1\) preso da un raptus di isteria.

Potete aiutarmi per favore?

[Quinzio]

La scomposizione in fratti semplici porta a questa scrittura:

$(z^2)/(z^4+1) = 1/2(1/(z^2-i) + 1/(z^2+i)) = 1/(4) [e^{-i\pi / 4}((1)/(z - e^{1/4 i\pi}) + (-1)/(z + e^{1/4 i\pi}))+e^{-3/4 i\pi } ((1)/(z - e^{3/4 i\pi}) + (-1)/(z + e^{3/4 i\pi})) ]$

Ora individuiamo due percorsi sul piano complesso:
il primo parte da $-oo$ sulla retta reale, va a $+oo$ e si chiude con un semicerchio all'infinito sul semipiano superiore; stessa cosa per il secondo ma si chiude a semicerchio sul semipiano inferiore.

Ora la somma dei residui nel semipiano sup. e'
$1/4 ( e^{-i\pi / 4} + e^{-i\pi 3/ 4}) = -i / (2sqrt(2)) $

Quindi

$\int_{-oo}^{+oo} z^2/(z^4+1) dz = 2\pi i (-i) / (2sqrt(2)) = \pi / sqrt(2)$

Da confrontare, volendo, con
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... o+to+%2Boo

Per motivi di simmetria l'altro percorso da un risultato uguale.

[leomagicabula]

grazie per il tuo tempo e il tuo impegno!
Non ci sarei mai arrivato... ho capito i tuoi passaggi (forse), ma se il giorno dell'esame mi dovesse capitare una cosa simile non sono sicuro di saper fare un conto del genere