Buongiorno a tutti!
l'esercizio è molto semplice, quello che non mi torna è che per risolverlo mi ci siano voluti dei conti lunghissimi.
Dimostrare che:
$\int_{mathbb{R}} \frac{3x^2}{x^6+1} dx=\pi$
utilizzando il teorema dei residui.
la mia soluzione:
mi sposto nel campo complesso:
$\int\frac{3z^2}{z^6+1} dz$
le radici del denominatore sono:
$z_0=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2};\qquad
z_1=i;\qquad
z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2};\qquad
z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2};\qquad
z_4=-i;\qquad
z_5=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.$
Le ho calcolate tutte per completezza.
Ora scelgo la semicirconferenza nel semipiano positivo (dove sono contenute solo le soluzioni $z_0,z_1,z_2$) orientata in senso antiorario che abbia un raggio sufficientemente grande da contenere le tre radici e parto con il calcolo dei residui:
$Res(f(z),z_0)=lim_{z->z_0}(z-z_0)\frac{3z^2}{(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)}$
$Res(f(z),z_1)=lim_{z->z_1}(z-z_1)\frac{3z^2}{(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)}$
$Res(f(z),z_2)=lim_{z->z_2}(z-z_2)\frac{3z^2}{(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)}$
ed è qui che è il mio problema, sostituendo tutti gli $z$ con i rispettivi valori, arrivo al risultato giusto, ma dopo due anni e una pagina di conti. Quindi il mio dubbio è che il denominatore possa essere scomposto in un modo che non mi viene in mente e che semplifichi poi i conti nel calcolo dei residui.
Ad ogni modo:
$Res(f(z),z_0)=\frac{1}{2i}$
$Res(f(z),z_1)=-\frac{1}{2i}$
$Res(f(z),z_2)=\frac{1}{2i}$
e quindi l'integrale viene $\pi$