Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda leomagicabula » 24/10/2019, 11:52

Buongiorno a tutti!
l'esercizio è molto semplice, quello che non mi torna è che per risolverlo mi ci siano voluti dei conti lunghissimi.

Dimostrare che:
$\int_{mathbb{R}} \frac{3x^2}{x^6+1} dx=\pi$

utilizzando il teorema dei residui.

la mia soluzione:
mi sposto nel campo complesso:
$\int\frac{3z^2}{z^6+1} dz$
le radici del denominatore sono:
$z_0=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2};\qquad
z_1=i;\qquad
z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2};\qquad
z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2};\qquad
z_4=-i;\qquad
z_5=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.$

Le ho calcolate tutte per completezza.
Ora scelgo la semicirconferenza nel semipiano positivo (dove sono contenute solo le soluzioni $z_0,z_1,z_2$) orientata in senso antiorario che abbia un raggio sufficientemente grande da contenere le tre radici e parto con il calcolo dei residui:
$Res(f(z),z_0)=lim_{z->z_0}(z-z_0)\frac{3z^2}{(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)}$
$Res(f(z),z_1)=lim_{z->z_1}(z-z_1)\frac{3z^2}{(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)}$
$Res(f(z),z_2)=lim_{z->z_2}(z-z_2)\frac{3z^2}{(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)}$
ed è qui che è il mio problema, sostituendo tutti gli $z$ con i rispettivi valori, arrivo al risultato giusto, ma dopo due anni e una pagina di conti. Quindi il mio dubbio è che il denominatore possa essere scomposto in un modo che non mi viene in mente e che semplifichi poi i conti nel calcolo dei residui.
Ad ogni modo:
$Res(f(z),z_0)=\frac{1}{2i}$
$Res(f(z),z_1)=-\frac{1}{2i}$
$Res(f(z),z_2)=\frac{1}{2i}$
e quindi l'integrale viene $\pi$
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda Exodus » 24/10/2019, 12:46

Questi tipi di integrali sono immediati, mi sembra una complicazione inutile usare i residui:

\(\int_{0}^{\infty }\frac{x^{p-1}}{x^{q}+1}dx=\frac{\pi }{q}\frac{1}{sin\left ( p\frac{\pi }{q} \right )}\) con \(q>p>0\)

Sostituisco i dati (la funzione è pari , moltiplico per 2 e integro tra 0 e infinito :P ):

\(2\cdot 3\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3-1}}{x^{6}+1}dx=\frac{6\pi }{6}\frac{1}{sin\left ( \frac{3\pi }{6} \right )}=\pi \)

Ecco fatto :smt023
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda leomagicabula » 24/10/2019, 13:57

Exodus ha scritto:Questi tipi di integrali sono immediati, mi sembra una complicazione inutile usare i residui:

\(\int_{0}^{\infty }\frac{x^{p-1}}{x^{q}+1}dx=\frac{\pi }{q}\frac{1}{sin\left ( p\frac{\pi }{q} \right )}\) con \(q>p>0\)

Sostituisco i dati (la funzione è pari , moltiplico per 2 e integro tra 0 e infinito :P ):

\(2\cdot 3\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3-1}}{x^{6}+1}dx=\frac{6\pi }{6}\frac{1}{sin\left ( \frac{3\pi }{6} \right )}=\pi \)

Ecco fatto :smt023

eh ok, ma la consegna dell'esercizio dice che devo utilizzare i residui.
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda pilloeffe » 25/10/2019, 02:12

Ciao leomagicabula,
leomagicabula ha scritto:Dimostrare che:
$\int_{\RR} (3x^2)/(x^6+1)\text{d}x=\pi $

utilizzando il teorema dei residui.

Fermo restando che utilizzare il teorema dei residui nel caso dell'integrale proposto non è proprio la strada che consiglierei, puoi sempre farlo dopo aver posto $t := x^3 implies \text{d}t = 3x^2\text{d}x $ e quindi

$\int_{\RR} (3x^2)/(x^6+1)\text{d}x= \int_{\RR} 1/(t^2+1)\text{d}t $

anche se ovviamente è molto più semplice concludere direttamente:

$\int_{\RR} (3x^2)/(x^6+1)\text{d}x= \int_{\RR} 1/(t^2+1)\text{d}t = [arctan t]_{-\infty}^{+\infty} = \pi/2 - (-\pi/2) = \pi $
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda gugo82 » 26/10/2019, 01:46

leomagicabula ha scritto:Dimostrare che:

$\int_{mathbb{R}} \frac{3x^2}{x^6+1} dx=\pi$

utilizzando il teorema dei residui.

Picchia selvaggiamente chiunque ti abbia proposto un esercizio simile.

La teoria dei residui non serve a nulla in questo caso (come osservato da pilloeffe).


@ Exodus: Bellina quella formula… Da dove l’hai tirata fuori?
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda Exodus » 26/10/2019, 12:46

gugo82 ha scritto:@ Exodus: Bellina quella formula… Da dove l’hai tirata fuori?


Ho il privilegio di non essere mai andato a scuola, per me i numeri sono solamente un gioco :wink:
Non so dimostrarla , ma funziona :P
Non credo che sia cosi originale, sicuramente ci sarà qualche matematico che ci è arrivato....
E' stata sviluppata cosi tanta matematica nei secoli, figurati se qualcuno non sia riuscito a dimostrarla :smt023
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda gugo82 » 26/10/2019, 15:06

@ Exodus: Ma che risposta è? :?
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda Exodus » 26/10/2019, 16:49

gugo82 ha scritto:@ Exodus: Ma che risposta è? :?

:lol: :lol: :lol:
Non lo sò :oops:
Volevi sapere da dove è venuta fuori la formula e ti ho risposto che
è saltata fuori giocando con i numeri.
Per quanto riguarda il privilegio di non essere andato a scuola, significa che non ho un approccio accademico, ma piuttosto creativo e giocoso alla materia. :wink:
Spero che almeno questa risposta sia soddisfacente.
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda gugo82 » 26/10/2019, 18:02

E vediamo il gioco, allora.
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Re: Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

Messaggioda Exodus » 26/10/2019, 19:30

gugo82 ha scritto:E vediamo il gioco, allora.

:?:
E' una battuta ?
Non ho capito cosa intendi.
Non c'è niente di magico, prima svolgi in maniera "ufficiale" poi giochi un pò con i numeri e cerchi una funzione che si comporta allo stesso modo...gli aggiungi qualche costante e " les jeux sont faits " :smt023
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