Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

[gugo82]

E vediamo il gioco, allora.

E' una battuta ?
Non ho capito cosa intendi.

Nono, quale battuta… Mostra come hai “giocato” per ottenere il risultato.
Insomma, fai vedere i calcoli.

[pilloeffe]

Picchia selvaggiamente chiunque ti abbia proposto un esercizio simile.

Diciamo che non volevo essere accusato di istigazione alla violenza, ma l'idea è quella...

Per quanto riguarda la formula che il nostro amico musicista "non matematico" Exodus afferma di non saper dimostrare, direi che, al contrario di ciò che ha sostenuto, possa essere derivata proprio dall'applicazione del teorema dei residui ed in particolare dalla formula che ho citato in questo thread (nel quale fra l'altro Exodus è intervenuto proponendo la stessa formula), che riporto qui di seguito:

$ \int_{0}^{+\infty}R(x) x^s \text{d}x = - \frac{\pi e^{-i\pi s}}{sin(\pi s)}\sum Res[R(x) x^s] $

Nel caso particolare in cui $R(x) = 1/(x + 1) $ e $s = r - 1 $ si ottiene quasi subito

$ \int_{0}^{+\infty} x^{r - 1}/(x + 1) \text{d}x = \frac{\pi}{sin(r\pi )} = \Gamma(r)\Gamma(1 - r) $

ove $0 < r < 1 $. Se poniamo $r := p/q \implies q > p > 0 $ si ha:

$ \int_{0}^{+\infty} x^{p/q - 1}/(x + 1) \text{d}x = \frac{\pi}{sin(p \pi/q)} $

Se a questo punto poniamo $x := t^q \implies \text{d}x = q t^{q - 1} \text{d}t $ si ha:

$ \int_{0}^{+\infty} t^{p - q}/(t^q + 1) q t^{q - 1} \text{d}t = \frac{\pi}{sin(p \pi/q)} $

$ \int_{0}^{+\infty} t^{p - 1}/(t^q + 1) \text{d}t = \frac{\pi/q}{sin(p \pi/q)} $

Richiamando con $x $ la variabile di integrazione in definitiva si ha:

\begin{equation*}
\boxed {\int_{0}^{+\infty} \dfrac{x^{p - 1}}{x^q + 1} \text{d}x = \dfrac{\frac{\pi}{q}}{\sin\big(p \frac{\pi}{q}\big)} \qquad q > p > 0}
\end{equation*}

[Exodus]

Per quanto riguarda la formula che il nostro amico musicista "non matematico" Exodus afferma di non saper dimostrare, direi che, al contrario di ciò che ha sostenuto....

Mica ho detto che non è dimostrabile, ho detto che ci penserà un matematico a tirar fuori una dimostrazione, il mio approccio è semplicemente un altro.
Detto in maniera brutale è un pò come procedere per tentativi.
un esempio chiarirà meglio cosa voglio dire:

\(\int xdx=\frac{1}{2}x^{2}\) più una eventuale costante
\(\int \frac{1}{2}x^{2}dx=\frac{1}{6}x^{3}\) stessa cosa
\(\int \frac{1}{6}x^{3}dx=\frac{1}{24}x^{4}\) stessa cosa

Guardando questo tipo di risulatati trovo che:

\(\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
\(n\neq -1\)

Lo so è un procedere da matti, ma io mi diverto, che mi vuoi togliere il gioccattolo

Nono, quale battuta… Mostra come hai “giocato” per ottenere il risultato.
Insomma, fai vedere i calcoli.

Ma , a parte che di solito quando trovo queste relazioni le trascrivo in una tabella personale e poi me ne dimentico completamente.
Chissà quando lo tirata fuori questa cosa, la maniera di procedere è pressoché uguale all'esempio che ho postato, probabilmente sonno partito da soluzioni calcolate con i residui e poi ho trovato una relazione, niente di cui essere orgogliosi, niente di esoterico, e neanche culo direi perchè ne ho trovate molte altre di relazioni.
E' una via diversa lo sò, forse anche poco efficiente ma come dicevo sù io mi diverto cosi...
Buona matematica

[leomagicabula]

Dimostrare che:

$\int_{mathbb{R}} \frac{3x^2}{x^6+1} dx=\pi$

utilizzando il teorema dei residui.

Picchia selvaggiamente chiunque ti abbia proposto un esercizio simile.

La teoria dei residui non serve a nulla in questo caso (come osservato da pilloeffe).


@ Exodus: Bellina quella formula… Da dove l’hai tirata fuori?

ragazzi immagino che ci sia un modo migliore, ma l'esame è su ste cose... residui, trasformata di Fourier, serie di Fourier, differenziali di funzioni.... ne ho appena postato un altro simile btw.

[pilloeffe]

@Exodus:

Mica ho detto che non è dimostrabile, ho detto che ci penserà un matematico a tirar fuori una dimostrazione

Per la cronaca non sono un matematico e non ho scritto che hai detto che non è dimostrabile, ma hai affermato

Questi tipi di integrali sono immediati, mi sembra una complicazione inutile usare i residui

quando invece la dimostrazione della corretta formula che hai proposto deriva proprio da una applicazione del teorema dei residui...
Naturalmente non posso escludere che vi siano altri metodi per dimostrarla, e forse era proprio questo l'invito implicito di gugo82...

[gugo82]

@ pilloeffe: Proprio perché avevo incrociato quella formula già un’altra volta e proprio perché so che essa è legata al calcolo con la funzione beta di Eulero¹, mi è venuta la curiosità di sapere com’è stata stabilita in “senso intuitivo”.


@ Exodus: Non ti stavo chiedendo altri esempi.
Vorrei sapere come hai giocato in questo caso.

Non sarai un matematico, ma l’italiano credo tu lo capisca bene.


P.S.: Questo vizio di evitare le domande rispondendo a questioni mai poste mi dà particolarmente fastidio.
Come pure mi dà fastidio il vizio di assimilare qualsiasi richiesta di chiarimenti ad una critica distruttiva.


@leomagicabula:

Dimostrare che:

$\int_{mathbb{R}} \frac{3x^2}{x^6+1} dx=\pi$

utilizzando il teorema dei residui.

Picchia selvaggiamente chiunque ti abbia proposto un esercizio simile.

La teoria dei residui non serve a nulla in questo caso (come osservato da pilloeffe).

ragazzi immagino che ci sia un modo migliore, ma l'esame è su ste cose... residui, trasformata di Fourier, serie di Fourier, differenziali di funzioni.... ne ho appena postato un altro simile btw.

Abbiamo capito, ma chi ti ha proposto l’esercizio non ha visto che ti ha assegnato un esercizio del tutto inutile: la teoria dei residui non è stata sviluppata per risolvere integrali immediati… Per quelli bastano le tavole di Analisi I (o delle scuole superiori).


P.S.: Questo vizio di attaccare l’asino dove vuole il padrone è odioso.
È sintomo di “esamite acuta”, quella malattia tipica dello studente universitario che studia solo per passare gli esami, senza un minimo di spirito critico.

---

Note

1. Praticamente, è una sorta di formula di riflessione $B(x,1-x) = pi/(sin(pi x))$. ↑

[leomagicabula]

P.S.: Questo vizio di attaccare l’asino dove vuole il padrone è odioso.
È sintomo di “esamite acuta”, quella malattia tipica dello studente universitario che studia solo per passare gli esami, senza un minimo di spirito critico.

Prima cosa: chi ti ha detto che non sia critico? io studio scienze dei materiali. Non me ne frega assolutamente niente della teoria dei residui e delle trasformate e di tutto ciò che c'è dietro. Anche perché le fanno i PC (non mi metterò mai a trasformare un segnale elettrico proveniente da un NMR due volte per avere un grafico bidimensionale dei chemical shifts delle molecole sotto esame).
Sono critico nel fare un corso simile in cui devo sapere teorema e dimostrazione, esercizi ecc ecc ad uno scienziato dei materiali. A noi servirebbero corsi di matematica dove il prof non sia solo un matematico ma anche un fisico: che ci spieghi le basi ortonormali, i bra, i ket (e qualsiasi altra cosa ti venga in mente) non solo con un formalismo matematico ma che abbia dei lunghi contatti con la fisica.
Seconda cosa: sì, studio solo per passare gli esami e laurearmi, specialmente se questi sono tenuti da professori che non sanno insegnare e che il loro scopo è quello di romperti i coglioni con teoremi e postulati senza nemmeno mostrare un'applicazione nella fisica.
Terza cosa: posso dire e dico che il mio prof di nanotecnologie è un pirla (e lo dico) e che il suo intero corso è stato una gigantesca sega al suo smisurato ego: di quando era in new mexico a lavorare al super magnete grosso millemila campi da calcio e che quando lo fermano spostavano l'intero continente di 2 millimetri (e scusa per l'OT). ma poi cosa ottengo? ottengo che il prof se la prende e mi fa laureare nel duemila e credici.
Quarta cosa: se la consegna dell'esercizio dice "calcola con i residui" posso essere il criticone più critico di tutto l'ateneo ma resta il fatto che lo devo calcolare con i residui. punto. PERCHE' QUESTO E' QUELLO CHE VUOLE IL PROF ED E' QUESTO QUELLO CHE CONTA, e non l'ultimo degli imbecilli degli studenti fuori corso (cioè io).

[gugo82]

Ah, quindi la tua sarebbe l’unica reazione ad un sistema universitario che non ti soddisfa?
Quella più inutile e dannosa per te?
Bene, viva la maturità di pensiero.

Ora che ti sei sfogato, torna a studiare Matematica: è l’unica cosa che ti servirà.

[Exodus]

@ Exodus: Non ti stavo chiedendo altri esempi.
Vorrei sapere come hai giocato in questo caso.

Non sarai un matematico, ma l’italiano credo tu lo capisca bene.

Certo ti ho risposto, l'ho fatto qualche tempo fà e il procedere è quello dell'esempio che ti ho citato, trovo delle relazioni tra i numeri, aggiungendo, togliendo e moltiplicando per costanti finchè il tutto funziona.
Adesso se vuoi sapere per filo e per segno se ho aggiunto un $pi$ sottratto una radice o moltiplicato per una funzione seno, non ti sò rispondere perchè non è una cosa che ho fatto li per li, è un risultato che avevo memorizzato in una tabella dove tengo questi miei "esperimenti con i numeri"
Sicuramente stavo giocando con la soluzione di integrali impropri con i residui.
Non ho la testa nella matematica ma nell'arte

[gugo82]

@ Exodus: Ok, prendo atto del fatto che vuoi tenerti questa cosa per te.
Amen.

Viva gli utenti che capiscono lo spirito del forum.