Calcola l'integrale usando il teorema dei residui

[leomagicabula]

Buongiorno,

due giorni che sbatto la testa su questo integrale, wolfram e la logica mi dicono che sbaglio. Ma quando vado a controllare passaggio per passaggio i conti sono giusti.

Facendo uso del teorema dei residui calcolare il seguente integrale.
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx$

allora prima cosa che faccio è riscrivere il seno con le formule di Eulero.
$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\rightarrow \sin^2 x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^2=-\frac{1}{4}(e^{i2x}+e^{-2ix}-2)$
$z=e^{i2x}\rightarrow dz=i2e^{i2x}dx\rightarrow dx=\frac{1}{2iz}dz\quadd$ quindi:

$-\frac{1}{4}(e^{i2x}+e^{-2ix}-2)=-\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z]-2)$

$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx=\int \frac{1}{1-\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z]-2)}*\frac{1}{2iz}dz=\frac{1}{i}\int\frac{1}{2z-\frac{1}{2}(z^2+1-2z)} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{4z-(z^2+1-2z)} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{-z^2+6z-1} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} dz$

con $z_1=3-\sqrt{2} ;\quad z_2=3+\sqrt{2}$.
quindi mi pongo sulla circonferenza $\gamma$ percorsa in senso antiorario, centro nell'origine e che abbia un raggio sufficientemente grande per contenere $z_1$. Calcolo $Res(f(z), z_1)$:
$Res(f(z), z_1)=\lim_{z->z_1} (z-z_1)\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}=\frac{1}{3-2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}}=\frac{1}{-4\sqrt{2}}$
quindi:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx=\frac{2}{i}\int_{\gamma}\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} dz=\frac{2}{i}(2\pi i)(\frac{1}{-4\sqrt{2}})=-\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
mentre wolfram dice che deve venire $\pi\sqrt{2}$ e anche il fatto che mi venga un valore negativo mi sembra che sia sbagliato. Dove sbaglio?

grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Ciao leomagicabula,

mentre wolfram dice che deve venire $\pi\sqrt{2}$ e anche il fatto che mi venga un valore negativo mi sembra che sia sbagliato.

Per quanto mi secchi ammetterlo mi sa che ha ragione WolframAlpha...
Attenzione che si ha $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2) $

[leomagicabula]

Ciao leomagicabula,

mentre wolfram dice che deve venire $\pi\sqrt{2}$ e anche il fatto che mi venga un valore negativo mi sembra che sia sbagliato.

Per quanto mi secchi ammetterlo mi sa che ha ragione WolframAlpha...
Attenzione che si ha $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2) $

ok, mi sono perso un meno, i residui vengono positivi ma il risultato continua ad essere $\pi/\sqrt{2}$ e non $\pi\sqrt{2}$.

[pilloeffe]

A me risulta

$z_1 = 3 - 2\sqrt{2} $
$z_2 = 3 + 2\sqrt{2} $

E perché non hai calcolato $Res[f(z); z_2]$ ?

[leomagicabula]

A me risulta

$z_1 = 3 - 2\sqrt{2} $
$z_2 = 3 + 2\sqrt{2} $

è un refuso mio, infatti nei conti ho messo i $2$ mancanti.

[leomagicabula]

E perché non hai calcolato $Res[f(z); z_2]$ ?

il $Res(f(z),z_2)= \frac{\sqrt{2}}{8}$ lo avevo calcolato. ma non l'ho scritto qui.
ma continua a non venire.

[gugo82]

Prima di imbarcarmi a fare contazzi, io osserverei che:

$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} text( d)x = int_0^(2pi) 2/(3 - cos(2x)) text( d) x = int_0^(4 pi) 1/(3 - cos y) text( d) y$

cosicché le sostituzioni di Eulero ed il teorema dei residui generalizzato portano a dire che l’integrale da calcolare è il doppio di un opportuno integrale sulla circonferenza unitaria del piano complesso.

[leomagicabula]

Prima di imbarcarmi a fare contazzi, io osserverei che:

$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} text( d)x = int_0^(2pi) 2/(3 - cos(2x)) text( d) x = int_0^(4 pi) 1/(3 - cos y) text( d) y$

cosicché le sostituzioni di Eulero ed il teorema dei residui generalizzato portano a dire che l’integrale da calcolare è il doppio di un opportuno integrale sulla circonferenza unitaria del piano complesso.

Non lo so.... mi sembra strano che debba fare certe trasformazioni...

[gugo82]

Sì, ok, forse non è necessario (“dovere” in Matematica è un verbo che si usa raramente)… Ma ragionare per semplificare il problema prima di mettersi a fare barche di conti è sempre consigliabile.

[pilloeffe]

ma continua a non venire.

Perché dici che continua a non venire?
Dato che $z = e^{i2x} $, quando $x $ varia fra $0 $ e $2\pi $ la variabile $z$ percorre due volte il cerchio unitario $|z| = 1 $ all'interno del quale c'è solo $z_1 = 3 - 2\sqrt{2} $ avente residuo $Res[f(z), z_1] = 1/(- 4sqrt{2}) $, per cui si ha:

$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} \text{d}x = - 2 \frac{2}{i}\int_{|z| = 1} \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} \text{d}z= - 2 \frac{2}{i}(2\pi i) Res[f(z), z_1] = $
$ = - 8 \pi \cdot [\frac{1}{-4\sqrt{2}}] = \sqrt{2} \pi $