Prolungamento analitico e integrali di Landau

[dRic]

Ciao,
vi chiederei un mano sulla teoria delle funzioni complesse in quanto sono un po' arrugginito. In un libro che sto leggendo si afferma il seguente

La funzione $\phi(p)$ è definita nel semipiano $Re(p) > p_0 > 0$ ove $p_0$ è tale che $\int_{0}^{\infty} dt \phi(t) e^{-p_0 t}$ converga. In $\phi(p)$ compaiono degli integrali, detti integrali di Landau, definiti come
$$r(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac {h(u)}{u - ip/k} du $$
Per $Re(p) > 0$ gli integrali di Landau sono univocamente definiti in quanto l'integrando non presenta singolarità per valori reali di $u$
Per il calcolo di $\phi(t)$ attraverso l'antitrasformata di Laplace torna utile definire $\phi(p)$ su tutto il piano complesso. Basterà prolungare analiticamente la $\phi(p)$ nel semipiano $Re(p) < 0$. Questo prolungamento analitico implica la continuazione analitica nella variabile $p$ degli integrali di Landau, che si effettua deformando il contorno di integrazione in $u$ in modo da passare al di sotto del punto singolare $u = ip/k$

Ci sono un paio di cose principalmente che non riesco a capire e di cui vorrei avere conferma

1) Perché l'autore dice gli integrali di Landau sono definiti solo per $Re(p) > 0$? Perché $Re(p) < 0 $ dovrebbe dare problemi ? Quello che ho pensato è che all'inizio ha detto che $\phi(p)$ è definita per $Re(p) > p_0 > 0$ e quindi, essendo $r(p)$ dentro $\phi(p)$, allora anche $r(p)$ è definita per $Re(p) > p_0 > 0$. Ma allora come fa a dire che $r(p)$ è definita per $Re(p) > 0$, che ne è del pezzo $p_0 > Re(p) > 0$ ? Per caso la funzione è stata "automaticamnete" prolungata in quel tratto perché non ci sono particolari problemi ?

2) Perché per $Re(p) < 0$, il contorno di integrazione passa da sotto ? Non potevo farlo passare da sopra ?

3) Se io, come in questo caso, ho una funzione definita solo un semipiano ed in quel semipiano è analitica, quando la proseguo dall'altra parte ci potranno essere dei poli ? Se sì, come faccio ad essere sicuro che il prolungamento sia unico e che non possa prolungarla in altri modi ?

Scusate le domande un po' confuse ma ci sto veramente diventando matto e sono anche arrugginito in materia

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao dRic,

Credo tu stia facendo confusione fra due piani di Gauss diversi, quello di $p $ $(Re(p), Im(p)) $ e quello di $u $ $(Re(u), Im(u)) $

Supponendo di aver determinato la trasformata di Laplace della funzione $\phi(p) $, ora occorre antitrasformarla per ottenere $\phi(t) $. L'antitrasformata di Laplace della funzione è data da

$\phi(t) = 1/(2\pi i) \int_C \phi(p) e^{pt} \text{d}p $

ove $C$ è il cosiddetto contorno di Bromwich che corre parallelo all'asse immaginario $Im(p) $ del piano $p$ $(Re(p), Im(p)) $ e che giace alla destra di tutte le singolarità della funzione $ \phi(p) $ nel piano complesso $p$ $(Re(p), Im(p)) $.
La funzione $\phi(p) $ è una trasformata di Laplace e pertanto l'integrale converge se $ Re(p) > -\sigma_0 $ ove $\sigma_0 >= 0 $ è l'ascissa di convergenza.
Piuttosto che cercare di ottenere un'espressione generale per $\phi(t)$, meglio concentrarsi sul comportamento della funzione per grandi valori di $t$. La funzione $\phi(p)$ ha soltanto un numero finito di poli semplici nella regione $Re(p)> -\sigma_0 $, quindi si può deformare $ C$ con un giro attorno ad ognuna delle singolarità (in modo che $C $ rimanga sempre alla destra di tutte le singolarità). Un polo $p_0$ fornisce un contributo che va come $ e^{p_0 t}$, mentre la parte verticale del contorno va come $ e^{-\sigma_0,t}$. Per valori di $t $ sufficientemente grandi (cioè lunghi, trattandosi di un tempo) quest'ultimo contributo è trascurabile ed il comportamento è dominato dai contributi dei poli più lontani alla destra.
Gli integrali della forma $r(p) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{h(u)}{u - i p/k}\text{d}u $ diventano singolari non appena $p$ si avvicina all'asse immaginario. Per distorcere il contorno di Bromwich abbiamo bisogno di prolungare analiticamente questi integrali attraverso l'asse immaginario $ Im(p) $. In virtù del modo nel quale la trasformata di Laplace è stata originariamente definita, per $ Re(p)$ abbastanza grande, il modo appropriato per fare questo è assumere i valori di questi integrali quando $p$ è nel semipiano di destra e determinare il prolungamento analitico nel semipiano di sinistra.
A questo punto se la funzione $h(u)$ si comporta sufficientemente bene da potersi prolungare analiticamente fuori dall'asse reale come una funzione analitica della variabile complessa $u$ allora dato che la singolarità attraversa l'asse reale nel piano complesso $u $ ($Re(u), Im(u)$) il prolungamento analitico della funzione

$r(p) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{h(u)}{u - i p/k}\text{d}u $

dal semipiano superiore al semipiano inferiore è ottenuto lasciando che la singolarità venga circondata dal contorno come mostrato nella figura che hai postato.

[dRic]

Ciao,

innanzitutto grazie infinite per la risposta, stavo iniziando a rassegnarmi. Tuttavia non riesco ancora ancora a capire

La funzione ϕ(p) è una trasformata di Laplace e pertanto l'integrale converge se Re(p)>−σ0 ove σ0≥0 è l'ascissa di convergenza.

Scusi, ma $\phi(p)$ è definita solo per $Re(p) > \sigma_0$... Come fa a dire che l'integrale converge per $Pre(p) > - \sigma_0$ ?

Da quello che ha detto però non vedo la necessità di prolungare analiticamente $\phi(p)$ nel piano complesso... cosa che invece sostiene l'autore e di cui non ha ben capito il motivo.

Gli integrali della forma r(p)=∫+∞−∞h(u)u−ipkdu diventano singolari non appena p si avvicina all'asse immaginario.

Oltre al fatto che sono singolari, per $Re(p) < sigma_0 $ non esistono proprio (credo). Perché gli integrali del tipo $r(p)$ sono "dentro" $\phi(p)$ e se $\phi(p)$ non è definita per $Re(p) < sigma_0$ allora nemmeno gli integrali $r(P)$ dovrebbero essere definiti...
(scusi se non ho copiato il LaTex)

Inoltre non capisco bene perché il prolungamento degli integrali $r(p)$ venga fatto propio così. Lei dice

La continuazione (...) dal semipiano superiore al semipiano inferiore è ottenuto lasciando che la singolarità venga circondata dal contorno come mostrato nella figura che hai postato.

ma io proprio non capisco perché debba venire così. Perché non posso, per esempio, aggirarlo da sopra ?

Amici e il professore continuano un po' a ripetermi le stesse cose ma io continuo a non capire... Mi sento frustratissimo

[pilloeffe]

innanzitutto grazie infinite per la risposta

Prego!

Scusi, ma $\phi(p) $ è definita solo per $Re(p)>\sigma_0 $... Come fa a dire che l'integrale converge per $Re(p)>−\sigma_0 $ ?

Questo è puramente convenzionale: siccome tipicamente l'ascissa di convergenza è negativa o nulla qualche autore scrive $Re(p)> - \sigma_0 $ con l'intesa che sia $\sigma_0 >= 0 $, ma se sul tuo testo hai $Re(p)>\sigma_0 $ naturalmente va bene lo stesso, significherà che in esso $\sigma_0 <= 0$. Puoi trovare qualche trasformata di Laplace con la relativa regione di convergenza ad esempio qui.
Quanto al resto poi potresti dare un'occhiata ad esempio qui.

[dRic]

Forse ho capito. Se ha tempo, stasera o domani provo a postare la mia "dimostrazione" in modo che possa dirmi se ho sbagliato qualcosa (perché ci sono dei passaggi nella sua risposta che continuo a non capire e che invece ho giustificato a modo mio. Purtroppo non capisco se è diverso/sbagliato oppure no).

Comunque un'ultima curiosità: quando prolungo gli integrali spanciando il dominio come nella figura, come faccio a dire che il prolungamento è unico ?