Avrei una domanda, se come ho fatto è corretto
Trovare lo sviluppo in serie di Laurent di
\[ f(z) = \frac{z^2-2z+5}{(z-2)(z^2+1)} \]
Per prima cosa riscrivo la funzione come segue
\[ f(z) = \frac{z^2-2z+5}{(z-2)(z^2+1)}= \frac{1}{z-2} + \frac{i}{z-i} - \frac{i}{z+i} \]
Ora divido tre casi, se \( \left| z \right| > 2 \) abbiamo che
\[ f(z) = \frac{1}{z} \frac{1}{1-2/z} + \frac{i}{z} \frac{1}{1-i/z} - \frac{i}{z}\frac{1}{1+i/z} \]
Pertanto siccome
\[ \frac{1}{z} \frac{1}{1-2/z} =\frac{1}{z} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \frac{2}{z} \right)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty}2^k \left( \frac{1}{z} \right)^{k+1} = \sum\limits_{k=- \infty}^{-1}2^{-k-1} \left( z \right)^{k}\]
\[ \frac{i}{z} \frac{1}{1-i/z} =\frac{i}{z} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \frac{i}{z} \right)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty}i^{k+1} \left( \frac{1}{z} \right)^{k+1}= \sum\limits_{k=- \infty}^{-1}(-i)^{k} \left( z \right)^{k}\]
\[ -\frac{i}{z} \frac{1}{1+i/z} =-\frac{i}{z} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(- \frac{i}{z} \right)^k = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-i)^{k+1} \left( \frac{1}{z} \right)^{k+1} =\sum\limits_{k=- \infty}^{-1}(i)^{k} \left( z \right)^{k}\]
Pertanto in serie di Laurent la funzione è data da
\[ f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} a_k z^k \]
con \[ a_k : = \left\{\begin{matrix}
0& \text{se} & k\geq0\\
2^{-k-1} + (i)^k +(-i)^k & \text{se} & k<0
\end{matrix}\right. \]
O in modo alternativo abbiamo che \( (i)^k +(-i)^k = 2 \cos \left(\frac{\pi k}{2} \right) \) dunque
\[ a_k : = \left\{\begin{matrix}
0& \text{se} & k\geq0\\
2^{-k-1} +2 \cos \left(\frac{\pi k}{2} \right) & \text{se} & k<0
\end{matrix}\right.\]
Poi con un ragionamento analogo calcolo lo sviluppo in serie di Laurent se \( 1 < \left| z \right| < 2 \) e ancora se \( \left| z \right| < 1 \). È corretto il modo di procedere?