"modifico il post precedente perché presentava alcuni errori... "
Salve a tutti. Mi trovo alle prese con questa funzione :
$ f(z) = cosh(z) /{z^2(1-z)} $ .
Mi viene richiesto di calcolare i residui nelle singolarità isolate e il residuo nel punto all'infinito.
Mediante la classica formula sui residui delle singolarità isolate al finito ho ottenuto:
$ Res(f, z=0) =d/dz (cosh(z)/{1-z})_{z=0}= ({sinhz *(1-z) + cosh(z)}/{1-z^2})_{z=0}= 1 $ .
Allo stesso modo ho ottenuto :
$ Res (f, z=1) = -(cosh(z) /{z^2})_{z=1}=-cosh(1) $
Per uno dei teoremi sui residui , il residuo all'infinito dovrebbe essere pari all'opposto della somma dei residui sulle singolarità al finito.
Provando per curiosità però , con wolfram, a calcolare il residuo nel punto all'infinito come segue :
$ Res (f, z=oo ) = Res (f(1/z ) * (-1/z^2))_{z=0} = Res {cosh(1/z) / {1/z^2 * (1-1/z)}} $ $ = cosh(1) $ .
Questo risultato mi ha un po' confuso poiché è esattamente l'opposto del residuo in 0 ( non sarebbe dovuto essere pari all'opposto della somma dei due residui trovati precedentemente?). Vi chiedo gentilmente sia un aiuto teorico su questa incongruenza tra il teorema sulla somma dei residui e il risultato di wolfram , sia un effettivo modo di calcolare questo residuo all'infinito .
Ringrazio in anticipo chiunque dedicherà un po' del proprio tempo per aiutarmi