Trasformata di Fourier per i residui

[3m0o]

Avrei due domanda sul seguente problema
(1) Dimostra che se \( f \) non a che dei poli semplici (di ordine 1) allora
se \( \xi < 0 \)
\[ \widehat{f}(\xi) = i \sum\limits_{z_0 \in \operatorname{sing}(f) \cap \mathbb{H}^+} e^{-i \xi z_0} \operatorname{res}(f,z_0) \]

se \( \xi > 0 \)
\[ \widehat{f}(\xi) = - i \sum\limits_{z_0 \in \operatorname{sing}(f) \cap \mathbb{H}^-} e^{-i \xi z_0} \operatorname{res}(f,z_0) \]
Dove \( \mathbb{H}^{\pm} = \{ z \in \mathbb{C} : \Im z \in \mathbb{R}^{\pm} \} \).

Allora la trasformata di Fourier è per definizione
\[ \widehat{f}(\xi) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-i \xi x} dx \]
Risolviamo il caso in cui \( \xi < 0 \)
Pertanto prendendo una funzione complessa conveniente e integrando sul cammino \( \gamma = C_R^+ \cup [-R,R] \) dove \( C_R^+ = \partial D(0,R) \cap \mathbb{H}^+ \) risulta che
\[ \oint_{\gamma} f(z) e^{-i \xi z} dz = \int_{C_R^+} f(z) e^{-i\xi z} dz + \int_{-R}^{R} f(x)e^{-i \xi x} dx \]
Ora abbiamo che \( f \) è meromorfa su \( \mathbb{C} \), se \( \left| f(z) \right| = o(1/\left|z \right|) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \) abbiamo che
\[ \lim\limits_{R \to \infty} \int_{C_R^+} f(z) e^{-i\xi z} dz = 0 \]
Pertanto segue che
\[ \lim\limits_{R \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-R}^{R} f(x)e^{-i \xi x} dx =i \sum\limits_{z_0 \in \operatorname{sing}(f) \cap \mathbb{H}^+}\operatorname{res}(e^{-i\xi z}f(z),z_0) \]
E siccome abbiamo dei poli semplici risulta che
\[ \operatorname{res}(e^{-i\xi z}f(z),z_0) = \lim\limits_{ z \underset{\neq}{\rightarrow} z_0} e^{-i \xi z }f(z)(z-z_0) =e^{-i \xi z_0 } \lim\limits_{ z \underset{\neq}{\rightarrow} z_0} f(z)(z-z_0) = e^{-i \xi z_0} \operatorname{res}(f,z_0) \]
Da cui segue il risultato.

La prima domanda è la seguente: è vero che una funzione \( f \) che ha solo poli di ordine 1 risulta che \( \left| f(z) \right| = o(1/\left|z \right|) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \).
Più in generale è vero che una funzione \( f \) che ha poli di ordine \( n \) allora risulta che \( \left| f(z) \right| = o(1/\left|z \right|^n) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \)

In secondo luogo, nel punto (2) quando mi chiede di calcolare la serie di Fourier della funzione
\[f(x) = \frac{1}{x^2+1} \]
Applico il punto precedene siccome \[f(z) = \frac{1}{(z+i)(z-i)} \]
ha due poli semplici. Ne calcolo il residuo che se non erro dovrebbero essere \( \operatorname{res}(f,i)=\frac{1}{2i} \) e rispettivamente \( \operatorname{res}(f,-i)=-\frac{1}{2i} \)
Ora il polo \( z_0 = i \) si trova in \( \mathbb{H}^+ \) pertanto se \( \xi < 0 \) abbiamo che
\( \widehat{f}(\xi) = \frac{e^{\xi}}{2} \)
mentre se \( \xi > 0 \)
\( \widehat{f}(\xi) = \frac{e^{-\xi}}{2} \)
Che sono uguali. E qui sorge la mia seconda domanda. La trasformata di Fourier qual'è? Nel senso è sempre il caso che \( \widehat{f}(\xi) \) quando \( \xi < 0 \) coincide con \( \widehat{f}(\xi) \) quando \( \xi >0 \).

[pilloeffe]

Ciao 3m0o,

Ammetto di non aver guardato tutti i tuoi conti, ma se $f(x) = 1/(x^2 + 1) $ usando la tua definizione di trasformata di Fourier ed unendo i due residui ottenuti si perviene al risultato seguente:

$\hat{f}(\xi) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\RR} f(x)e^{-i \xi x} \text{d}x = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \xi x}/(x^2 + 1) \text{d}x = \hat{f}_+(\xi) + \hat{f}_{-} (\xi) = e^{\xi}/2 + e^{-\xi}/2 = cosh(\xi) $

[3m0o]

Ciao
Il fatto è che mi sembra da come è impostato il problema che mi si dica

\[ \hat{f}(\xi) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-i \xi x} \text{d}x = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-i \xi x}}{x^2 + 1} \text{d}x = \left\{\begin{matrix}
e^{\xi}/2& \text{se}& \xi < 0 \\
e^{-\xi}/2& \text{se}& \xi > 0
\end{matrix}\right.= \frac{e^{- \left|\xi\right|}}{2}, \ \ \forall \xi \]
soprattutto perché nell'enunciato la notazione $\hat{f}(\xi)_+ $ non è presente ma mi dice che è proprio la trasformata di Fourier... dunque unire i due residui come fai te non dovrebbe andare bene in quanto la trasformata di fourier è uguale alla somma dei residui del semi piano superiore. Ed è anche uguale alla somma dei residui del semi piano inferiore (a dipendenza del segno di \( \xi \) )

[Quinzio]

E qui sorge la mia seconda domanda. La trasformata di Fourier qual'è? Nel senso è sempre il caso che \( \widehat{f}(\xi) \) quando \( \xi < 0 \) coincide con \( \widehat{f}(\xi) \) quando \( \xi >0 \).

In generale no, altrimenti l'esercizio che hai fatto avrebbe poco senso.
Per la trasformata di Fouries vale che se la $f(x)$ e' reale(immaginaria), la TdF ha simmetria pari(dispari).
E viceversa, cioe':
$f(x)$ ha simmetria pari(dispari), la TdF e' reale(immaginaria).

Quindi finche' hai delle funzioni reali e pari, come nel tuo esercizio, la TdF e' simmetrica pari ed e' reale.

[pilloeffe]

Sì scusami, hai ragione, sono stato troppo frettoloso.
Lasciando perdere il fattore moltiplicativo $1/(2\pi) $, che fra l'altro varia a seconda di quale definizione di trasformata di Fourier si utilizza, in sostanza si tratta di risolvere l'integrale seguente:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x}/(x^2 + a^2) \text{d}x $

ove $a > 0 $. Considerando la funzione $f(z) = e^{i\xi z}/(z^2 + a^2 $ supponendo dapprima $\xi >= 0 $ ci poniamo nel semipiano $Im(z) >= 0 $ e si ottiene:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x}/(x^2 + a^2) \text{d}x = (\pi/a) e^{-a\xi} $

In modo del tutto analogo se $\xi < 0 $ ci poniamo nel semipiano $Im(z) < 0 $ ed otteniamo:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x}/(x^2 + a^2) \text{d}x = (\pi/a) e^{a\xi} $

In conclusione, $\AA \xi \in \RR $ si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \xi x}/(x^2 + a^2) \text{d}x = (\pi/a) e^{- a|\xi|} $

Il risultato mostra che l'integrale in questione è una funzione pari di $\xi $. Dunque, cambiando $\xi $ in $-\xi $ in conclusione $\AA \xi \in \RR $ si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \xi x}/(x^2 + a^2) \text{d}x = (\pi/a) e^{-a|\xi|} $

Il caso particolare proposto è quello in cui $a = 1 $.

[3m0o]

Ok, grazie.

La prima domanda è la seguente: è vero che una funzione \( f \) che ha solo poli di ordine 1 risulta che \( \left| f(z) \right| = o(1/\left|z \right|) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \).
Più in generale è vero che una funzione \( f \) che ha poli di ordine \( n \) allora risulta che \( \left| f(z) \right| = o(1/\left|z \right|^n) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \)

Il mio primo dubbio ritengo sia falso. Infatti \( f(z)=\frac{1}{z} \) è una funzione che ha un polo semplice ma \( \left| f(z) \right| \neq o(1/\left|z \right|) \) quando \( \left| z \right| \to \infty \)