Prolungamento analitico, e meromorfia di \( \zeta \)

[3m0o]

Sto facendo confusione su alcuni concetti, se qualcuno gentilmente potesse aiutarmi a fare chiarezza.
Notazione: \( \mathbb{H}_a := \{ z \in \mathbb{C} : \Re(z) > a \} \), e \( \overline{\mathbb{H}}_a := \{ z \in \mathbb{C} : \Re(z) \geq a \} \), per \( a \in \mathbb{R} \)

Abbiamo definito la funzione zeta di Riemann, \( \zeta : \mathbb{H}_1 \to \mathbb{C} \) come
\[ \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s } \]



Lemma 0
La funzione \( s \mapsto \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \) ha un prolungamento olomorfo in \( \mathbb{H}_0 \)

I miei dubbi concettuali sono i seguenti:
1) Sarebbe questo qui di seguito il motivo per cui devo fare la dimostrazione
A priori la zeta è definita sul semi piano di parte positiva maggiore (strettamente) di 1. Ha inoltre chiaramente una singolarità in \( s=1 \) (tra l'altro come fa a dire che è un polo semplice non ho capito ) inoltre pure \( \frac{1}{s-1} \) ha un polo semplice in \(s=1\). Se potessi fare lo sviluppo in serie di Laurent della zeta in un anello centrato in in \(s=1 \) allora dovrei avere una cosa come \( \zeta(s) =\sum\limits_{k=-1}^{\infty} a_{k}(s-1)^k\) e sarebbe chiaro che posso "eliminare" il polo semplice in \(s=1\) e quindi che \(\zeta(s)-\frac{1}{s-1} \) è olomorfa. Il problema è che mi pare che per poter fare la serie di Laurent su di un anello centrato in un punto \(s_0\) debbo avere la olomorfia della funzione nell'anello, qui non ho nessuna funzione olomorfa per nessun anello centrato in \(1 \) in quanto nella striscia di parte reale \( 0< \Re(s) < 1 \) non ho una definizione di \(\zeta \). E dunque non è lecito fare lo sviluppo in serie di Laurent e pertanto devo dimostrare che effettivamente quella funzione è olomorfa in \( \mathbb{H}_0 \) ?
2) Il fatto che \( s \mapsto \zeta(s) - \frac{1}{1-s} \) sia olomorfa in \( \mathbb{H}_0 \) implica che la \( \zeta(s) \) è meromorfa in \( \mathbb{H}_0 \) con unico polo semplice \(s=1\) ?
2.1) Se sì, a posteriori ha senso fare la serie di Laurent?
2.2) Se sì, non capisco come faccia a non avere altri poli. Insomma se uso la la definizione di \( \zeta \) e provo a vedere il valore di \( \zeta(1/2)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \infty \)
2.3) Dal punto 2.2) penso che la risposta al dubbio 2) sia no! Pertanto magari implica però che la \( \zeta \) ha un'estensione meromorfa su \( \mathbb{H}_0 \) ?
2.4) Ponendo \( \xi(s):=\zeta(s) - \frac{1}{s-1} \) è definita a priori in \( \mathbb{H}_1 \), la estendo analiticamente a \( \mathbb{H}_0 \) e ottengo (come si vede nella dimostrazione) che la sua estensione analitica è \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_n(s) \), se considero \( \frac{1}{s-1}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_n(s) \) è l'estensione meromorfa di \( \zeta \) ?

Dubbi riguardo alla dimostrazione:
1) Perché abbiamo questa maggiorazione \(\sup_{x \in [n,n+1] } \left| \frac{s}{x^{s+1}} \right| \leq \frac{\left| s \right| }{n^{\Re(s)+1}} \)?
2) Perché \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_n(s) \) converge normalmente? Non dovrebbe essere assolutamente?

Dimostrazione:
Chiaramente \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^s}dx= \frac{1}{s-1} \)
Pertanto segue che
\[ \zeta(s) - \frac{1}{s-1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^s} - \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x^s} dx \right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \int_{n}^{n+1} \frac{1}{n^s} - \frac{1}{x^s} dx \right) =: \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_n(s) \]
dove \[ \varphi_n(s)= \int_{n}^{n+1} \left( \frac{1}{n^s} - \frac{1}{x^s} \right)dx \]
Siccome \( \left| \int_a^b f(x)dx \right| \leq \left| b-a \right| \sup_{x \in [a,b]} \left| f(x) \right| \) segue per il teorema di Lagrange che
\[ \left| \phi_n(s) \right| \leq \sup_{x \in [n,n+1] } \left| \frac{1}{n^s} - \frac{1}{x^s} \right| \leq \sup_{x \in [n,n+1] } \left| \frac{s}{x^{s+1}} \right| \leq \frac{\left| s \right| }{n^{\Re(s)+1}} \]
Abbiamo guadagnato un fattore \( 1/n \) e siccome
\[ \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left| \varphi_n(s) \right| \leq \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{\left| s \right| }{n^{\Re(s)+1}} < \infty \]
per tutti \(s \in \mathbb{H}_0 \), abbiamo che \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_n(s) \) converge normalmente su \( \mathbb{H}_0 \).
Di conseguenza abbiamo che \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_n(s) \) è un prolungamento analitico di \( s \mapsto \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \) a \( \mathbb{H}_0 \).


\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \varphi_n(s) \]

Grazie infinite.