\[ \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{(e^x+x+1)^2 + \pi^2} \]
Allora per calcolarlo utilizzeri il teorema dei residui. Pertanto estendo la funzione ad una funzione complessa ponendo
\[f(z) = \frac{1}{(e^z+z+1)^2 + \pi^2} \]
E voglio integrare sul laccetto omotopo \(\gamma_R:= C_R^+ \cup [-R,R] \) con \( R \in \mathbb{R} \) e \( C_R^+ := \partial D(0,R) \cap \mathbb{H}^+ \) dove \( \mathbb{H}^+ \) è il semi piano di parte immaginaria positiva.
Pertanto abbiamo per il teorema dei residui che
\[ \oint_{\gamma_R} \frac{dz}{(e^z+z+1)^2 + \pi^2}= 2 \pi i \sum\limits_{z_0 \in \operatorname{sing}(f)\cap \operatorname{Int}(\gamma_R)}\operatorname{res}(f,z_0) \]
Obbiettivo: dimostrare che \[ \lim\limits_{R \to \infty} \int_{C_R^+} \frac{dz}{(e^z+z+1)^2 + \pi^2} = 0 \]
In questo modo otterrei che
\[ \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{(e^x+x+1)^2 + \pi^2}=2 \pi i \sum\limits_{z_0 \in \operatorname{sing}(f)\cap \mathbb{H}^+}\operatorname{res}(f,z_0) \]
Dove l'unica singolarità in \( \mathbb{H}^+ \) è dato da \(z_0 = i\pi \), (l'altra singolarità è \(-i\pi \) che si trova nella piano inferiore).
Abbiamo
\[ \left| \int_{C_R^+} \frac{dz}{(e^z+z+1)^2 + \pi^2} \right| \leq \int_{C_R^+} \left| \frac{dz}{(e^z+z+1)^2 + \pi^2} \right| dz =\int_{C_R^+} \frac{1}{\left| (e^{z}+z+1)^2 + \pi^2 \right| }dz \]
Non riesco a maggiorare questo integrale per dimostrare che va a zero... ho pensato a questo
\[ \frac{1}{(e^z+z+1)^2 + \pi^2}= \frac{1}{(e^z+z+1-i\pi)(e^z+z+1+i\pi)} \]
E voglio dimostrare che quando \( \left| z \right| \to \infty \) allora \( \left| f(z) \right| = o(1/\left| z \right|)\). Pertanto facendo lo sviluppo di Taylor di \(e^z \) abbiamo
\[ \lim\limits_{\left| z \right| \to \infty } \frac{\left| z \right|}{\left|(1+2z+O(z^2)+1-i\pi)(1+2z+O(z^2)+1+i\pi)\right|}= 0 \]
E quando \( R \to \infty \) anche \( \left| z \right| \to \infty \) e mi chiedevo pertanto se posso dire che
\[\int_{C_R^+} \frac{1}{\left|(e^{z}+z+1)^2 + \pi^2\right| } dz\leq \int_{C_R^+} \frac{1}{\left|z\right| }dz \]
Facendo la sostituzione \( z=Re^{it} \) abbiamo che
\[\int_{C_R^+} \frac{1}{\left|z\right| }dz = \int_{0}^{\pi}\left| \frac{iRe^{it}}{Re^{it}} \right|dt = \int_{0}^{\pi}1dt =\pi\]
EDIT:
Ma mi è inutile
Forse posso dire
\[\int_{0}^{\pi} \frac{\left|iRe^{it} \right|}{\left|(e^{Re^{it}}+Re^{it}+1)^2 + \pi^2\right| } dt =
\int_{0}^{\pi} \frac{\left|Re^{it} \right|}{\left|(e^{Re^{it}}+Re^{it}+1)^2 + \pi^2\right| } dt \to 0 \]
quando \(R \to \infty\), in quanto \[ \lim\limits_{R \to \infty} \frac{\left|Re^{it} \pi^2\right|}{\left|(e^{Re^{it}}+Re^{it}+1)^2 + \pi^2\right| } = 0 \]
poiché \( \left| f(z) \right| = o(1/\left| z \right|)\)
