Dubbio su un passaggio di una dimostrazione.

[3m0o]

C'è un passaggio che non capisco bene.

Sia \( \varphi(x) = \sum_{p \leq x} \log p \), dove \( p \) è un numero primo.

Lemma:
Se \[ I_1 = \int_{1}^{\infty} \frac{\varphi(x)-x}{x^2}dx \]
converge allora, \( \varphi(x) \sim x \).

Dimostrazione.
L'idea è che se \(\varphi(x)-x\) diventa troppo grande o troppo piccolo allora l'integrale \[ F(y) = \int_{1}^{y} \frac{\varphi(x)-x}{x^2}dx \]
non si stabilizza quando \( y \to \infty \).

È sufficiente dimostrare che per tutti gli \( \epsilon >0 \) l'insieme \( \{ x : \mathbb{R}_+^* : \left| \varphi(x)-x \right| \geq \epsilon x \} \) è limitato.
Poniamo \( \lambda = 1 + \epsilon > 1 \) e dimostriamo per l'assurdo che \( \{ x : \mathbb{R}_+^* : \varphi(x) \geq \lambda x \} \) è limitato.
Altrimenti avremmo l'esistenza di una successione \( (a_n)_{n\geq0} \) in \( \mathbb{R}_+^* \) con \( a_n \to \infty \) tale che \( \varphi(a_n) \geq \lambda a_n \).
Avremmo allora.
\[ \int_{a_n}^{\lambda a_n} \frac{\varphi(x)-x}{x^2}dx \geq \int_{1}^{\lambda} \frac{\lambda- t a_n}{a_n^2}a_n dt \geq \frac{1}{\lambda^2} \int_{1}^{\lambda} \lambda - 1dt = \frac{(\lambda-1)^2}{2\lambda^2}=c(\lambda) >0 \]
Dove nella prima disuguaglianza abbiamo utilizzato il fatto che \( \varphi(x) \geq \varphi(a_n) \geq \lambda a_n \) su \([a_n, \lambda a_n] \) in quanto \( \varphi \) è crescente. E abbiamo effettuato il cambiamento di variabile \( x = t a_n \).
Quindi avremmo una successione \( a_n \to \infty \) tale che \( F(\lambda a_n) - F(a_n) \geq c(\lambda) > 0 \) per tutti gli \(n \geq 0 \) e dunque \( F\) non può convergere.

Poniamo \( \mu = 1- \epsilon < 1 \) e dimostriamo nella stessa maniera che \( \{ x \in \mathbb{R}_+^* : \varphi(x) \leq \mu x \} \) è limitato.

Pertanto deduciamo che \( \{ x : \mathbb{R}_+^* : \left| \varphi(x)-x \right| \geq \epsilon x \} \) è limitato per tutti gli \( \epsilon >0 \) e quindi \( \left| \frac{\varphi(x)}{x} - 1 \right| \to 0 \).

-La cosa che non capisco è perché se \( F(\lambda a_n) - F(a_n) \geq c(\lambda) > 0 \) per tutti gli \(n \geq 0 \) e dunque \( F\) non può convergere, \( \lambda \) dipende da \( \epsilon \) e pertanto se \( \epsilon \to 0 \) abbiamo che \( \lambda \to 1 \) e quindi \( c(\lambda) \to 0 \) e dunque nulla impedisce che \( F(\lambda a_n) - F(a_n) \to 0 \).