Dimostrare che la \( \zeta \) non ha zeri in \( \overline{\mathbb{H}}_1\)

Messaggioda 3m0o » 10/11/2019, 14:50

Non capisco la domanda (1) e mi blocco sulla domanda (2)
Sia \( \Phi(s)=\sum_p \frac{\log p}{p^s} \), con \(p \) primo.
(1) Dimostra che per tutti \(b,\epsilon >0 \) abbiamo
\[ \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)>0 \]
(2) Calcolare il limite
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 \]
e dedurre che \( \zeta \) non possiede zeri su \( \overline{\mathbb{H}}_1 \).

Il mio dubbio sta in (1) che \( \Phi: \mathbb{H}_1 \to \mathbb{C} \), e \(\mathbb{C}\) non è ordinato, come faccio quindi a dimostrare che è maggiore di zero?

Per il (2)
Sappiamo che gli zeri di \( \zeta \) corrispondono ai poli di \( \Phi \). E siccome \( \Phi \) non ha poli su \( \mathbb{H}_1 \) e sufficiente dimostrare che \( \Phi \) non ha poli su \( \partial \mathbb{H}_1 \).
Supponiamo pertanto che \( 1+ib \in \partial \mathbb{H}_1 \), con \(b>0\) sia uno zero di ordine \(n\) della \( \zeta \).
Allora per la definizione di \( \zeta \) abbiamo che \( \zeta(\overline{s})=\overline{\zeta(s)} \) pertanto pure \(1-ib \) è uno zero di ordine \(n\) della \( \zeta\). Pertanto in questi due punti abbiamo che \( \Phi\) possiede un polo il cui residuo è: \( \operatorname{res}(\Phi,1\pm ib)=-n \). Notiamo inoltre che
\[ \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 = \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon) \]
Pertanto
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 \]
\[ = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \left( \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)\right) \]
E mi blocco...
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Re: Dimostrare che la \( \zeta \) non ha zeri in \( \overline{\mathbb{H}}_1\)

Messaggioda dissonance » 10/11/2019, 18:58

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Se continui così presto ti chiederanno di dimostrare l'ipotesi di Riemann!

Sul primo dubbio, è facile, si tratta di dimostrare che quell'espressione bruttissima in \(b\) e \(\epsilon\) è reale e maggiore di zero. Tutto il resto ha un aspetto terribile, ma forse non è così difficile in fondo.
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Re: Dimostrare che la \( \zeta \) non ha zeri in \( \overline{\mathbb{H}}_1\)

Messaggioda 3m0o » 12/11/2019, 00:11

dissonance ha scritto:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Se continui così presto ti chiederanno di dimostrare l'ipotesi di Riemann!

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
non esageriamo :-D

Per (1) sappiamo che
\[ \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 = \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon) \]
E notiamo che \(\left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)=2 \Re(p^{ib/2 })\), e deduciamo che \(\left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4=2^4 \Re(p^{ib/2 })^4 \in \mathbb{R}_+^* \).
Inoltre siccome \( p \geq 2 \) e siccome \( 1 + \epsilon \in \mathbb{R}_{>1}\) abbiamo che
\[ \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 >0 \]

Per (2) forse ma non sono sicuro

\[ = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \left( \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)\right) \]
\[= \operatorname{res}(\Phi,1+2ib) + \operatorname{res}(\Phi,1-2ib) + 4\operatorname{res}(\Phi,1+ib)+4\operatorname{res}(\Phi,1-ib) +6\operatorname{res}(\Phi,1) = (\star)\]
E posto \(n,m>0 \) abbiamo che \(\operatorname{res}(\Phi,1\pm ib)=-n\) e che \(\operatorname{res}(\Phi,1 \pm 2ib)=-m \).
Pertanto ,e siccome \( 0< (\star)\), segue che
\[ (\star)= 6-8n-2m \leq 6-8n \]
\(n=0 \)
Pertanto siccome non ha senso dire che uno zero della zeta ha ordine zero, significa che la zeta non ha zeri sulla \( \overline{\mathbb{H}}_1 \).
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