Non capisco la domanda (1) e mi blocco sulla domanda (2)
Sia \( \Phi(s)=\sum_p \frac{\log p}{p^s} \), con \(p \) primo.
(1) Dimostra che per tutti \(b,\epsilon >0 \) abbiamo
\[ \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)>0 \]
(2) Calcolare il limite
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 \]
e dedurre che \( \zeta \) non possiede zeri su \( \overline{\mathbb{H}}_1 \).
Il mio dubbio sta in (1) che \( \Phi: \mathbb{H}_1 \to \mathbb{C} \), e \(\mathbb{C}\) non è ordinato, come faccio quindi a dimostrare che è maggiore di zero?
Per il (2)
Sappiamo che gli zeri di \( \zeta \) corrispondono ai poli di \( \Phi \). E siccome \( \Phi \) non ha poli su \( \mathbb{H}_1 \) e sufficiente dimostrare che \( \Phi \) non ha poli su \( \partial \mathbb{H}_1 \).
Supponiamo pertanto che \( 1+ib \in \partial \mathbb{H}_1 \), con \(b>0\) sia uno zero di ordine \(n\) della \( \zeta \).
Allora per la definizione di \( \zeta \) abbiamo che \( \zeta(\overline{s})=\overline{\zeta(s)} \) pertanto pure \(1-ib \) è uno zero di ordine \(n\) della \( \zeta\). Pertanto in questi due punti abbiamo che \( \Phi\) possiede un polo il cui residuo è: \( \operatorname{res}(\Phi,1\pm ib)=-n \). Notiamo inoltre che
\[ \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 = \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon) \]
Pertanto
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{1+\epsilon}} \left( p^{-ib/2} + p^{ib/2 }\right)^4 \]
\[ = \lim\limits_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \left( \Phi(1+2ib+\epsilon) + \Phi(1-2ib+\epsilon) + 4\Phi(1+ib+\epsilon)+4\Phi(1-ib+\epsilon) +6\Phi(1+\epsilon)\right) \]
E mi blocco...