Estensione meromorfa di \( \Phi \).

[3m0o]

Ci sono due cose che non capisco benissimo della dimostrazione del seguente lemma.
La funzione \( \Phi \) ha un estensione meromorfa su \( \mathbb{H}_{1/2} \) dove
\[ \Phi(s)= \sum_{p} \frac{\log p}{p^s} \]
inoltre su \( \mathbb{H}_{1/2}\) gli zeri della \( \zeta \) di ordine \(n\) corrispondono ai poli \( \Phi \) con residuo \(-n \).
E il polo della \( \zeta \) corrisponde ad un polo di \( \Phi \) con residuo \(-1 \).

Primo cosa che non ho capito: come mai possiamo estendere l'identià
\[ -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum\limits_p \frac{\log p}{p^s-1} \]
a tutto \( \mathbb{H}_{1} \) ? Come mai è lecito prendere il logaritmo?

Seconda cosa che non ho capito:
- Okay gli zeri della \( \zeta \) sono dei poli di \( \Phi \) in quanto su \( \mathbb{H}_{1/2}\) abbiamo che \(\Phi(s)=-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+ \text{qualcosa di olomorfo} \), ma non ho capito come mai il residuo è uguale a \(-n \) se lo zero è di ordine \(n \).
-come fa a dedurre che il polo di \( \zeta \) è un polo di \( \Phi \) con residuo \(-1 \)?


Dimostrazione:
L'idea è di dimostrare che
\[ -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}- \Phi(s) = \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{2s}} \left( \frac{1}{1-p^{-s}} \right) \]
e che il membro di destra converge normalmente su \( \mathbb{H}_{1/2} \).

Scriviamo \( -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \) come la derivata del logaritmo
\[ -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = -\frac{d}{ds} \left( \log \prod\limits_p \left(\frac{1}{1-p^{s}} \right) \right) \]
\[ = \left(\sum\limits_p \frac{d}{ds} \log \left(\frac{1}{1-p^{s}} \right) \right) \]
\[ = \sum\limits_p \frac{p^{-s} \log p}{1-p^{-s}} = \sum\limits_p \frac{\log p}{p^s-1} \]

Notiamo che è vero per tutti \( s \in (0,\infty) \), siccome tutto è reale e strettamente positivo dunque possiamo prendere il logaritmo senza problemi. Possiamo ora estendere l'identità per prolungamento analitico a \( \mathbb{H}_1 \), infatti è chiaro che la somma converge

In seguito abbiamo che
\[ -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum\limits_p \frac{\log p}{p^s-1}=\Phi(s) + \sum\limits_{p} \frac{\log p}{p^{2s}} \left( \frac{1}{1-p^{-s}} \right) \]
E per tutti \( p \geq 5 \) e \( s \in \mathbb{H}_{1/2} \) abbiamo che
\[ \left| \frac{\log p}{p^{2s}} \frac{1}{1-p^{-s}} \right| = \frac{\log p}{\left|p^{2s}\right| \left|1-p^{-s}\right|} \leq \frac{\log p}{\left|p^{2s}\right| \left|1-\left|p^{-s}\right| \right|} \leq \frac{\log p}{\left|p^{2s}\right| \left|1-\left|4^{-1/2}\right| \right|}=2 \frac{\log p}{p^{2 \Re(s)}} \]
Abbiamo utilizzato il fatto che \( \left| p^s \right| = \left| p^{\Re(s)} \right| \geq \sqrt{p} \geq 2 \).
E siccome per tutti \( t > 1/2 \) abbiamo che
\[ \sum_p \frac{\log p}{p^{2t}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \log n}{n^{2t}} < \infty \]
e pertanto converge normalmente su \( \mathbb{H}_{1/2} \).
Deduciamo pertanto che
\[ s \mapsto -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}- \Phi(s) \]
è olomorfa su \( \mathbb{H}_{1/2} \).