Abbiamo iniziato le trasformazioni conformi ed professore ha scritto questo enunciato alla lavagna dicendo che le trasformazioni conformi sono uno strumento utile per comprendere in modo profondo la geometria del piano. Ad ogni modo non ho la più pallida idea di come dimostrare l'enunciato... qualcuno avrebbe un idea?
Sia \( P \) una pavimentazione esagonale del piano. Coloriamo ogni esagono di bianco o di nero, in modo tale che la probabilità che un esagono sia bianco è \( p \) e la probabilità che sia nero è (chiaramente) \( 1- p \).
Allora
\[ \mathbb{P} (\{ x \ \text{è un esagono di una componente connessa di infiniti esagoni bianchi} \}) \approx \left(p-\frac{1}{2}\right)_+^{5/36} \]
dove \( \left(p-\frac{1}{2}\right)_+ = \max \left(0,(p-1/2)\right) \).