Dimostra che le applicazioni conformi da \( \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) sono della forma
\[ z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} \]
dove \[ \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R} \]
Allora la mia idea era la seguente
se considero la trasformazione di mobius \( \varphi_1 : \mathbb{H} \to D(0,1) \) definita da \[ z \mapsto -i \frac{z-1}{z+1} \]
E prendo la sua inversa \( \varphi_1^{-1} : D(0,1) \to \mathbb{H}\) definita da \[ z \mapsto \frac{z-i}{z+i} \]
Posso lavorare sul disco e sappiamo inoltre che tutte le applicazioni conformi \( \psi_{\theta,a} \) dal disco al disco sono delle trasformazioni di Mobius della forma \( \psi_{\theta,a} (z)=e^{i \theta} \psi_{a}(z) \) per qualche \( \theta \in \mathbb{R} \) e per qualche \( a \in D(0,1) \) in modo tale che \( \psi_{\theta,a}(a)=0 \).
E \( \psi_a \) è della forma \[ \psi_a (z) = \frac{z-a}{1- \overline{a}z} \]
Quindi credo che posso concludere che qualunque trasformazione conforme \( \varphi : \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) è data da
\[ \varphi = \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 \]
Per qualche \( \theta \in \mathbb{R} \) e per qualche \( a \in D(0,1) \).
Quello che devo effettivamente dimostrare è che per tutti i \( \theta \in \mathbb{R} \) e per tutti gli \( a \in D(0,1) \) ottengo che
\( \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) \) sia della forma
\[ \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) = \frac{az+b}{cz+d}\]
Con
\[ \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) \]
Ma riesco solo a dimostrare che
\[ \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) = \frac{z(a+i)(1-\overline{a}ie^{-i\theta}) + (i-a)(1+\overline{a}ie^{-i\theta})}{z(a+i)(1+\overline{a}ie^{-i\theta}) + (i-a)(1-\overline{a}ie^{-i\theta})}\]
Come faccio a concludere che
\[A:= \begin{bmatrix}
(a+i)(1-\overline{a}ie^{-i\theta}) & (i-a)(1+\overline{a}ie^{-i\theta})\\
(a+i)(1+\overline{a}ie^{-i\theta}) & (i-a)(1-\overline{a}ie^{-i\theta})
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) \]
Anche perché ci sono due problemi
1) Il determinante non è 1, ma mi viene
\[ \det A= 2 \overline{a} i e^{-i \theta} (a^2 + 1 ) \]
E i coefficienti non credo siano reali..
Dove sbaglio? Non credo nei conti perché gli ho controllati un sacco di volte.