Potrebbe andare così
\[ f_{2n}(z):= \sum\limits_{\sigma} \frac{1}{(z-z_{\sigma(2)})^2\ldots (z_{\sigma(2n-1)}-z_{\sigma(2n)})^2}\]
Dove \( z_2,\ldots,z_{2n} \in \mathbb{C} \) sono dei parametri tutti distinti tra loro.
Abbiamo allora che \( f(z) \) è meromorfa. Scegliamo dunque un polo, diciamo \(z_2 \), e facciamo lo sviluppo di Laurent attorno a questo polo, con un anello \( A(z_2,0,R) \), con \( R \in \mathbb{R} \).
Sappiamo che non ci possono essere ordini inferiori al \(k<2 \) poiché nell'espressione della \( f \) non ci sono.
Pertanto lo sviluppo centrato in \(z_2 \).
\[ f_{2n}(z)= \frac{a_{-2}}{(z-z_2)^2} + \frac{a_{-1}}{(z-z_2)} + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_2)^n \]
Qualcuno ha idee di come mostrare quanto segue:
Voglio dimostrare che \( a_{-1} =0\) e che \( a_{-2} = \det \tilde{M}_{1,2} \) dove la matrice \( \tilde{M}_{1,2} \) indica la sottomatrice ottenuta da \( M \) eliminando le righe e le colonne \( 1 \) e \( 2 \).
Inoltre per Laplace abbiamo che, dove con \( M(z) \) indico la matrice \( M \) ma con la variabile \(z \) al posto di \(z_1 \).
\[ \det M(z) = \frac{1}{(z-z_2)^2} \det \tilde{M}_{1,2} + G(z) \]
Dove \( G(z) \) sono gli altri termini del determinante.
In questo modo abbiamo che \( f_{2n}(z) - \det M(z) \) è una funzione olomorfa da \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \).
Inoltre voglio dimostrare che \( f_{2n}(z) - \det M(z) \) è costante!
E poi voglio trovare un punto in cui \( f_{2n}(z) - \det M(z) =0\)