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Sia \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa iniettiva. Dimostra che è suriettiva.

Avete dei suggerimenti? non so da dove partire.

Forse...
Supponendo per assurdo che \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) iniettiva e olomorfa. Supponiamo per assurdo che \( f \) non è suriettiva. Allora abbiamo che \( f: \mathbb{C} \to f(\mathbb{C}) \subset \mathbb{C} \) è olomorfa e biiettiva. Inoltre credo ma non sono sicuro che \( f(\mathbb{C}) \) sia semplicemente connesso. Pertanto per il teorema della mappa conforme di Riemann abbiamo che esiste un biolomorfismo \( \varphi: f(\mathbb{C}) \to \mathbb{D} \) pertanto risulta che che abbiamo trovato una funzione intera \( \varphi \circ f\) tale che
\( \varphi \circ f : \mathbb{C} \to \mathbb{D} \) pertanto per il teorema di Liouville abbiamo che \( \varphi \circ f\) è costante, e siccome \( \varphi \) non è costante risulta che \( f \) è costante, contraddizione dell'iniettività di \( f \).

Si, ma manca dimostrare che \(f(\mathbb C)\) è semplicemente connesso, e non so se sia vero anche se intuitivamente plausibile. Fatto quello il resto va bene.

dissonance ha scritto:Si, ma manca dimostrare che \( f(\mathbb C) \) è semplicemente connesso, e non so se sia vero anche se intuitivamente plausibile.

Dovrebbe essere vero perché una mappa aperta, bigettiva e continua è omeomorfismo, e le funzioni olomorfe sono mappe aperte.

Voglio crederci, mi piace come soluzione. Però che facciamo se la derivata si annulla in qualche punto? Per avere il teorema della mappa aperta la derivata non si deve annullare mai.

dissonance ha scritto:Voglio crederci, mi piace come soluzione. Però che facciamo se la derivata si annulla in qualche punto? Per avere il teorema della mappa aperta la derivata non si deve annullare mai.

Sono con il telefono e in un bar quindi perdonatemi se non uso LaTeX e se non verifico quanto sto per dire, ma mi pare che una funzione olomorfa e iniettiva forzi la derivata non nulla... potrei sbagliarmi però

dissonance ha scritto:Voglio crederci, mi piace come soluzione. Però che facciamo se la derivata si annulla in qualche punto? Per avere il teorema della mappa aperta la derivata non si deve annullare mai.

Sinceramente non mi ricordo bene la dimostrazione, ma wiki non lo mette tra le ipotesi

Ragazzi mi sa che avete ragione. Il discorso sulla derivata che non si annulla è proprio della variabile reale, serve per il teorema della funzione inversa. Ma nel caso complesso, non ce n'è bisogno, tutte le applicazioni olomorfe non costanti sono aperte, anche se la derivata si annulla da qualche parte.

Quindi la dimostrazione è conclusa. Bene!

Perché se è una mappa aperta allora posso dire che \( f( \mathbb{C} ) \) è semplicemente connesso? Non posso solo dedurre che è aperto?

Edit:
Secondariamente ho trovato questa dimostrazione https://math.stackexchange.com/questions/1116076/injective-holomorphic-function-is-conformal-i-e-nonzero-derivative?rq=1
Ma non capisco un paio di passaggi.
-Perché \( f(z)- f(z_0) = a(z-z_0)^k + G(z) \) con \( a \neq 0 \) e \( k \geq 2 \) ??
-Perché \( \left| G(z) \right| < \left| F(z) \right| \) in un intorno sufficientemente piccolo di \( z_0 \) ?
- Perché \( F \) ha almeno due zeri nel cerchio? Uno è \( z_0 \) ma come faccio ad essere certo che esista \( z_1 \) nel cerchio tale che \( a(z_1-z_0)^k = \omega \) ?

3m0o ha scritto:Perché se è una mappa aperta allora posso dire che \( f( \mathbb{C} ) \) è semplicemente connesso? Non posso solo dedurre che è aperto?

Questo lo avevi detto in un messaggio precedente. Essendo una mappa aperta e ingettiva, è un omeomorfismo.