Funzione olomrfa e iniettiva implica suriettiva.

Questo lo avevi detto in un messaggio precedente. Essendo una mappa aperta e ingettiva, è un omeomorfismo.

No lo ha detto jinsang. Ed inoltre ha detto bigettiva non ingettiva.
Anche se \( f : \mathbb{C} \to f(\mathbb{C}) \) è bigettiva in quanto \( f \) ingettiva, pertanto se \( f \) è un omeomorfismo abbiamo che \( \mathbb{C} \) è semplicemente connesso dunque anche \( f(\mathbb{C} ) \) lo è!

Si, un omeomorfismo sulla propria immagine, intendo.

Si, un omeomorfismo sulla propria immagine, intendo.

Okay ora ho capito, è un omeomorfismo in quanto \( f \) è continua (è olomorfa) e in quanto \( f^{-1} \) è continua poiché \( f \) è una mappa aperta!

Si, un omeomorfismo sulla propria immagine, intendo.

Okay ora ho capito, è un omeomorfismo in quanto \( f \) è continua (è olomorfa) e in quanto \( f^{-1} \) è continua poiché \( f \) è una mappa aperta!

Esatto!
Poi hai capito la dimostrazione su MSE di quella cosa che dicevi (olomorfa iniettiva => la derivata non si annulla)?
E' carina.

-Perché \( f(z)- f(z_0) = a(z-z_0)^k + G(z) \) con \( a \neq 0 \) e \( k \geq 2 \) ??

È semplicemente lo sviluppo di Taylor, \(k \neq 1 \) perché \( f'(z_0)=0 \) per ipotesi.

-Perché \( \left| G(z) \right| < \left| F(z) \right| \) in un intorno sufficientemente piccolo di \( z_0 \) ?

Continuo a non capire.

- Perché \( F \) ha almeno due zeri nel cerchio? Uno è \( z_0 \) ma come faccio ad essere certo che esista \( z_1 \) nel cerchio tale che \( a(z_1-z_0)^k = \omega \) ?

In primo luogo non è \(z_0 \).
Secondariamente continuo a non capire perché \( F \) possiede due zeri distinti

Abbiamo posto:
\[ f(z)-f(z_0)- \omega= F(z)+G(z) \\
F(z)=a(z-z_0)^k-\omega; \ \ \ \ G(z)=b(z-z_0)^{k+1}+...\]
Siccome \( |F(z_0)|=|\omega|>0 ; \ \ |G(z_0)|=0 \), per continuità vale \( |F(z)|>|G(z)| \) (*) in un intorno sufficientemente piccolo di $z_0$, lo prendo abbastanza piccolo da verificare anche che $f'(z)$ non si annulla tranne che in $z_0$. Ciò che mi interessa davvero però è che la disuguaglianza (*) valga sul bordo dell'intorno (wlog diciamo bordo di un dischetto di raggio $r$) perché voglio applicare il teorema di Rouché.
Adesso vale che $F(z)$ ha $k$ radici nel dischetto¹, dunque per Rouché anche $f(z)-f(z_0)- \omega$ avrà altrettanti zeri e saranno distinti², questo contraddice l'iniettività.

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Note

1. sto barando, il dischetto potrebbe essere troppo piccolo per contenerle, devo dimostrare che posso scegliere il dischetto tale che... a meno di modificare $\omega$ ↑
2. altrimenti assurdo sulla derivata ↑