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Ciao, non capisco questo passaggio della dimostrazione. Data $L(u,v)=\int_{a}^{b}\sqrt{u'^2+v'^2}dx \quad \forall u,v\in W_{per}^{1,1}(a,b)$, riparametrizziamo la curva, ponendo $y=\eta(x) = -1 + \frac{2}{L(u,v)}\int_{a}^{x}\sqrt{u'^2+v'^2}dx$. Come ottengo $y$? Grazie

Stai parametrizzando una curva chiusa come grafico di funzione?
Mi sa che c’è qualcosa che devi chiarire...

Si $W_{per}^{1,1}=\{u\inW^{1,1}(a,b) : u(a)=u(b)\}$

Mi spieghi come fai a parametrizzare una curva chiusa come grafico di funzione?

Da dove stai prendendo la dimostrazione?

Perdonami, ma mi sto confondendo.
Dacorogna - Introduction to the calculus of variation, Theorem 6.4 - Isoperimetric inequality
La dimostrazione dice:
"We start by reparametrizing the curv by a multiple of its arc length,namely
$y=\eta(x) = -1 + \frac{2}{L(u,v)}\int_{a}^{x}\sqrt{u'^2+v'^2}dx$
$\phi(y)=u(\eta^{-1}(y))$
Supponengo che la seconda sia una cosa che definisce a partire da $y$, volevo capire come otteneva la prima

Il fatto è che, non riportando tutto il passo del testo, non si capiva cosa stessi facendo.

Ad ogni buon conto, la funzione integrale:
\[
\ell (x) = \int_a^x \sqrt{(u^\prime)^2 + (v^\prime)^2}\ \text{d} t
\]
rappresenta la lunghezza d’arco misurata da $(u(a), v(a))$ (questo è noto da Analisi II), mentre \(L(u, v) = \ell (b)\) è la lunghezza della curva parametrizzata.
La funzione \(\frac{2}{L(u,v)} \ell(x)\) mappa in maniera continua e strettamente crescente¹ l’intervallo base $(a,b)$ della parametrizzazione $(u(x), v(x))$ in $(0,2)$, quindi la funzione \(y=\eta (x):= -1 + \frac{2}{L(u,v)} \ell(x) \) definita dal testo è un cambiamento di parametro che non cambia l’orientamento della curva ed ha come immagine l’intervallo $(-1,1)$.
Ne viene che la funzione $(phi(y) , psi (y)):=(u(eta^(-1)(y)), v(eta^(-1)(y)))$ è una riparametrizzazione della tua curva con intervallo base $(-1,1)$ concorde con $(u(x),v(x))$.

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Ti ringrazio prima di tutto per la risposta, ora mi è già molto più chiaro.
Potrei chiederti qualche passaggio in più? Sono consapevole di dovermi riguardare quest parte di Analisi, ma intanto vorrei capire i passaggi che portano a tale riparametrizzazione.

No, aspetta… Non ha senso pensare al CdV se non padroneggi gli strumenti dell’Analisi di base.
Ti consiglio vivamente di andarti a ripetere quel che non ricordi.

Va bene, ti ringrazio, ho già iniziato a rivedere quella parte.
La ringrazio per il tempo dedicatomi.