Formulazione serie di Laurent

[Quill]

Buonasera, sono alle prime (primissime) armi con l'analisi complessa, e sto facendo conoscenza con la serie di Laurent. A questo proposito, ho visto diversi modi di ricavarla e vorrei fare mente locale. Ho dunque un esercizio d'esempio di cui ho i risultati ma non i procedimenti e una domanda teorica più generale. Partiamo con l'esempio: voglio lo sviluppo di Laurent di:

$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)$ negli insiemi $0<|z|<3 , 3<|z|<oo$

Io l'ho svolta così:

$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)=1/(z^2(z+3))+(3+z)/(z^2(z+3))=1/(z^2(z+3))+1/z^2$

Manipolo per trovare la serie geometrica $1/(z+3)->1/(3(1-(-z/3)))$ e dunque posso scrivere

${ ( 1/z^2+1/(3z^2)sum_(n=0)^(oo)(-z/3)^n=1/z^2+sum_(n=0)^(oo)(-1)^nz^(n-2)/3^(n+1) -> 0<|z|<3 ),( 1/z^2-1/(3z^2)sum_(n=0)^(oo)(-3/z)^n=1/z^2-sum_(n=0)^(oo)(-1)^n3^(n-1)/z^(n+2) -> 3<|z|<oo ):}$

I risultati riportati dal libro sono rispettivamente $4/(3z^2)-1/(9z)+sum_(n=0)^oo(-1)^nz^n/3^(n+3)$ per il primo insieme e $1/z^2+sum_(n=0)^oo(-1)^n3^n/z^(n+3)$ per il secondo insieme. Ho commesso io qualche errore?

Infine, se posso aggiungere una breve domanda teorica, quando si tratta di funzioni più complesse, ad esempio quelle trigonometriche, visto che Laurent è un caso più generico di Taylor, suppongo di poter usare le stesse regole di sostituzione? Ad esempio se $sinz=sum_(n=0)^oo(-1)^n/((2n+1)!)z^(2n+1)$ allora $sin(z/(1-z))=sum_(n=0)^oo(-1)^n/((2n+1)!)(z/(1-z))^(2n+1)$?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Quill,

Benvenuto/a sul forum!

Ho commesso io qualche errore?

No, le serie che hai scritto in realtà coincidono col risultato del libro che hai riportato...
Infatti per la prima basta scrivere un paio di termini e si ha:

$1/z^2+\sum_(n=0)^(+\infty)(-1)^n z^(n-2)/3^(n+1) = 1/z^2 + 1/(3z^2) - 1/(9z) + \sum_(n=2)^(+\infty)(-1)^n z^(n-2)/3^(n+1) = 4/(3z^2) - 1/(9z) + \sum_(k=0)^(+\infty)(-1)^k z^(k)/3^(k+3) $

ove si è posto $k := n - 2 $ (poi se preferisci puoi richiamare $k $ con $n$...).
Per la seconda si ha:

$ 1/z^2-\sum_(n=0)^(+\infty)(-1)^n 3^(n-1)/z^(n+2) = 1/z^2+\sum_(n=0)^(+\infty)(-1)^{n - 1} 3^(n-1)/z^(n+2) = 1/z^2+\sum_(k=0)^(+\infty)(-1)^{k} 3^k/z^(k+3) $

ove si è posto $k := n - 1 $ (anche qui poi se preferisci puoi richiamare $k $ con $n$...).