Formulazione serie di Laurent
Inviato: 13/12/2019, 18:55
Buonasera, sono alle prime (primissime) armi con l'analisi complessa, e sto facendo conoscenza con la serie di Laurent. A questo proposito, ho visto diversi modi di ricavarla e vorrei fare mente locale. Ho dunque un esercizio d'esempio di cui ho i risultati ma non i procedimenti e una domanda teorica più generale. Partiamo con l'esempio: voglio lo sviluppo di Laurent di:
$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)$ negli insiemi $0<|z|<3 , 3<|z|<oo$
Io l'ho svolta così:
$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)=1/(z^2(z+3))+(3+z)/(z^2(z+3))=1/(z^2(z+3))+1/z^2$
Manipolo per trovare la serie geometrica $1/(z+3)->1/(3(1-(-z/3)))$ e dunque posso scrivere
${ ( 1/z^2+1/(3z^2)sum_(n=0)^(oo)(-z/3)^n=1/z^2+sum_(n=0)^(oo)(-1)^nz^(n-2)/3^(n+1) -> 0<|z|<3 ),( 1/z^2-1/(3z^2)sum_(n=0)^(oo)(-3/z)^n=1/z^2-sum_(n=0)^(oo)(-1)^n3^(n-1)/z^(n+2) -> 3<|z|<oo ):}$
I risultati riportati dal libro sono rispettivamente $4/(3z^2)-1/(9z)+sum_(n=0)^oo(-1)^nz^n/3^(n+3)$ per il primo insieme e $1/z^2+sum_(n=0)^oo(-1)^n3^n/z^(n+3)$ per il secondo insieme. Ho commesso io qualche errore?
Infine, se posso aggiungere una breve domanda teorica, quando si tratta di funzioni più complesse, ad esempio quelle trigonometriche, visto che Laurent è un caso più generico di Taylor, suppongo di poter usare le stesse regole di sostituzione? Ad esempio se $sinz=sum_(n=0)^oo(-1)^n/((2n+1)!)z^(2n+1)$ allora $sin(z/(1-z))=sum_(n=0)^oo(-1)^n/((2n+1)!)(z/(1-z))^(2n+1)$?
Grazie
$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)$ negli insiemi $0<|z|<3 , 3<|z|<oo$
Io l'ho svolta così:
$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)=1/(z^2(z+3))+(3+z)/(z^2(z+3))=1/(z^2(z+3))+1/z^2$
Manipolo per trovare la serie geometrica $1/(z+3)->1/(3(1-(-z/3)))$ e dunque posso scrivere
${ ( 1/z^2+1/(3z^2)sum_(n=0)^(oo)(-z/3)^n=1/z^2+sum_(n=0)^(oo)(-1)^nz^(n-2)/3^(n+1) -> 0<|z|<3 ),( 1/z^2-1/(3z^2)sum_(n=0)^(oo)(-3/z)^n=1/z^2-sum_(n=0)^(oo)(-1)^n3^(n-1)/z^(n+2) -> 3<|z|<oo ):}$
I risultati riportati dal libro sono rispettivamente $4/(3z^2)-1/(9z)+sum_(n=0)^oo(-1)^nz^n/3^(n+3)$ per il primo insieme e $1/z^2+sum_(n=0)^oo(-1)^n3^n/z^(n+3)$ per il secondo insieme. Ho commesso io qualche errore?
Infine, se posso aggiungere una breve domanda teorica, quando si tratta di funzioni più complesse, ad esempio quelle trigonometriche, visto che Laurent è un caso più generico di Taylor, suppongo di poter usare le stesse regole di sostituzione? Ad esempio se $sinz=sum_(n=0)^oo(-1)^n/((2n+1)!)z^(2n+1)$ allora $sin(z/(1-z))=sum_(n=0)^oo(-1)^n/((2n+1)!)(z/(1-z))^(2n+1)$?
Grazie