Funzione intera con un infinita di soluzioni per ogni valore complesso

[3m0o]

Non è una funzione intera perché non è definita in zero ma
\( \sin(1/z) = \omega \)
possiede un infinità di soluzioni per ogni \( \omega \in \mathbb{C} \)
infatti
\( \sin(1/z) = \omega \Leftrightarrow e^{2i/z} -2i \omega e^{i/z} -1 =0\)

Grazie al teorema fondamentale dell algebra abbiamo che questo polinomio di secondo grado in \( e^{i/z} \) possiede almeno una radice complessa \( r_{\omega} \). Siccome \( r_{\omega} \neq 0 \) per ogni intero \( k \neq 0 \) abbiamo
\[ z_k := \frac{1}{- i \ln r_{\omega} + 2\pi k} \]
è una soluzione dell'equazione iniziale.