Matematicamente.it

Trovare una funzione intera tale che \(f(z)=\omega\) ha un numero infinito di soluzioni per tutti gli \(\omega \in \mathbb{C} \), giustificare.
Questa la mia idea:
Poniamo \( f(z):=\sin(z) \), allora abbiamo che \( \sin(z)=\frac{e^{iz}- e^{-iz}}{2i} \)
Da cui segue che se \(z_0=x+iy\) è soluzione di \( \sin(z_0)=\omega \), per \( \omega \in \mathbb{C} \) allora soddisfa
\(e^{ix}e^{-y} - e^{-ix}e^{y} = 2i \omega \).

E quindi anche \(z_k = x+2\pi k + i y \) è soluzione, per ogni \(k \in \mathbb{Z} \). Infatti
\(e^{i(x+2 \pi k)}e^{-y} - e^{-i(x+2 \pi k)}e^{y} =e^{ix}e^{-y} - e^{-ix}e^{y} = 2i \omega \).
In quanto la funzione \( e^{ix}\) è \( 2\pi i \) periodica.
E siccome per ogni \( \omega \in \mathbb{C} \) esiste una soluzione per l'equazione \( \sin(z) = \omega \) in quanto \( \sin(z) \) è intera e non constante e dunque suriettiva per Liouville, abbiamo che per ogni \( \omega \in \mathbb{C} \) risulta che l'equazione \( \sin(z) = \omega \) possiede un'infinità di soluzioni.

Liouville non assicura la suriettività, pensa per esempio ad \( f(z):=e^z \)

jinsang ha scritto:Liouville non assicura la suriettività, pensa per esempio ad \( f(z):=e^z \)

Hai ragione sono un cretino! In ogni caso la funzione seno è suriettiva.

Su queste cose ci sono i teoremi di Picard, sono cose un po' strane, dicono che una funzione intera non suriettiva può tuttalpiù mancare un solo punto (e poi ci sono altre versioni).

Ma come fai a dire che \(\sin\) è suriettiva? Potrebbe mancare un punto. Non è una domanda retorica, vorrei davvero saperlo.

3m0o ha scritto:

jinsang ha scritto:Liouville non assicura la suriettività, pensa per esempio ad \( f(z):=e^z \)

Hai ragione sono un cretino! In ogni caso la funzione seno è suriettiva.

Ma dai, non autooffenderti
Comunque anch'io, come dissonance, non trovo un modo facile per dire che $sin$ è suriettiva.

In effetti, l'unico punto che \(\sin\) potrebbe mancare potrebbe essere solo \(0\). Infatti, poniamo che \(\sin\) manchi un altro punto \(w\ne 0\), ovvero che
\[
\sin z = w \]
non ha soluzione. Siccome \(\sin(-z)=-\sin z\), pure
\[
\sin z = -w\]
non ha soluzione. E questa è una contraddizione, perché per Picard ci può essere al massimo un solo punto mancato.

(Il mio ragionamento è: ci può essere solo un punto mancato, queste sono funzioni super di base, il punto mancato non può che essere zero. Ma \(\sin\) non manca lo zero, e quindi è surgettiva).

Hai ragione, mi piace!
In realtà a me non viene mai in mente di usare il teorema di Picard perché non l'ho mai dimostrato

jinsang ha scritto:il teorema di Picard perché non l'ho mai dimostrato

Per quello dicevo che sono "cose strane". Per me quel teorema è una scatola nera completamente misteriosa, e non ho la minima idea del perché sia vero. Leggendo Wikipedia sono andato a sbattere sulla micidiale "funzione modulare \(\lambda\)", una cosa che piace un sacco ai ricercatori dell'università di 3m0o, ma di cui non ci capisco un tubo, purtroppo. Così ho lasciato perdere

dissonance ha scritto:Su queste cose ci sono i teoremi di Picard, sono cose un po' strane, dicono che una funzione intera non suriettiva può tuttalpiù mancare un solo punto (e poi ci sono altre versioni).

Ma come fai a dire che \(\sin\) è suriettiva? Potrebbe mancare un punto. Non è una domanda retorica, vorrei davvero saperlo.

Perché l'ho letto su wikipedia
Ad ogni modo non abbiamo visto il teorema di Picard però credo che anche così possa funzionare
\( \sin(z) = \omega \) allora ponendo \( e^{iz} = u \) abbiamo che
\( u^2 - 2i u -1=0 \) che possiede soluzioni con \( u_{1,2} = i \omega \pm \sqrt{1-\omega} \)
Ora se \( \omega =0 \) abbiamo una soluzione per \( e^{iz}=u = 1 \) con \(z=0 \).
Se \( \omega \neq 0 \) abbiamo che \( i \omega + \sqrt{1-\omega} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Pertanto applicando il logaritmo complesso abbiamo che
\( z = -i \ln \left( i \omega + \sqrt{1-\omega}\right) \) è una soluzione. Pertanto il seno è suriettivo.

jinsang ha scritto:Ma dai, non autooffenderti
Comunque anch'io, come dissonance, non trovo un modo facile per dire che $sin$ è suriettiva.

Beh dai è un errore proprio banale dire che il teorema di Liouville garantisce la suriettività, cioé non sta ne in cielo ne in terra. Come mi è saltato in mente non lo so!