Semplicemente connesso?

[solaàl]

"Dimostralo" significava semplicemente "dimostralo, ce la puoi fare", e avevo solo l'atteggiamento di una persona stupita: è terminologia che mi sembrava standard. E aver dato del cretino a OP è una cosa che mi hai messo in bocca tu, per favore non farlo più

Ora, ho una domanda per te: esiste un modo di dimostrare il teorema di Morera che non fa uso della nozione di omotopia, nemmeno di nascosto?

[Lucacs]

Be si, se consideri le funzioni olomorfe.
No se intendi dimostrazioni di tipo topologico che non conosco

[dissonance]

"Dimostralo" significava semplicemente "dimostralo, ce la puoi fare", e avevo solo l'atteggiamento di una persona stupita: è terminologia che mi sembrava standard. E aver dato del cretino a OP è una cosa che mi hai messo in bocca tu, per favore non farlo più

Va bene. Non volevo farti dire niente, naturalmente. Sono stati solo un po' di fraintendimenti, tipici della comunicazione asincrona su questi forum.

Ora, ho una domanda per te: esiste un modo di dimostrare il teorema di Morera che non fa uso della nozione di omotopia, nemmeno di nascosto?

Sia sul libro di Rudin (Real and complex analysis), sia su quello di Lang (Complex analysis), ho visto che adottano due punti di vista: uno è "topologico" e l'altro è "analitico", e sviluppano tutta la teoria più o meno in parallelo. Il punto di vista analitico prende come punto di partenza l'indice di avvolgimento, che è un integrale, mentre il punto di vista topologico è quello con l'omotopia. Ecco perché sopra parlavo dei due punti di vista. Purtroppo però io non ho mai trovato il tempo di leggermi per bene la questione, mi piacerebbe farlo, un giorno.

Quanto al teorema di Morera, in fondo non è altro che il solito argomento dell'elettromagnetismo: se si annullano tutti gli integrali (punto di vista macroscopico), allora si annulla anche una certa derivata (punto di vista microscopico), che risulta essere proprio l'equazione di Cauchy-Riemann. (In elettromagnetismo, se si annullano tutti i flussi allora si annulla la divergenza, se si annullano tutte le circuitazioni allora si annulla il rotore, e così si ricavano le equazioni di Maxwell).

C'è dietro l'omotopia "nascosta"? Certo che si, ma come potrebbe non esserci? È la principale ostruzione topologica, deve apparire in un modo o nell'altro.

[solaàl]

Mi hai rimproverato perché rispondo in pubblico; mi hai rimproverato perché ti ho risposto in privato: a mezza strada non riesco a stare

Il punto di vista analitico prende come punto di partenza l'indice di avvolgimento, che è un integrale, mentre il punto di vista topologico è quello con l'omotopia. Ecco perché sopra parlavo dei due punti di vista.

La mia impressione è che invece il primo punto di vista sia "lo stesso" del primo, ma gli sia subordinato: sceglie delle "coordinate naturali" in cui usare degli strumenti che dimostrano il risultato: l'indice di avvolgimento è semplicemente l'inversa della mappa naturale
\[
\mathbb Z \to \pi_1(S^1) : m \mapsto [t\mapsto e^{2\pi i m t} ]
\] (si manda un intero nella classe di omotopia della curva che si avvolge \(m\) volte sul cerchio); l'inversa di questa funzione è la mappa che viene indotta al quoziente da \(f \mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{f} \frac{dz}{z}\); uno dimostra che 1. Questa mappa è ben definita perché il valore di quell'integrale è un intero; 2. questa mappa passa al quoziente perché cammini omotopi hanno la stessa immagine; 3. Questa mappa è un omomorfismo di gruppi ed è un isomorfismo.

Serve dell'analisi per dimostrare 1,2,3, ma questo è puramente incidentale, conseguenza del fatto che stai realizzando \(S^1\) come una varietà differenziale. Segretamente, stai usando il fatto che \(p : \mathbb R \to S^1 : t\mapsto e^{2\pi i t}\) è un rivestimento: allora, ogni cammino \(\gamma : S^1 \to S^1\) che parte da \(1\in S^1\) ha un unico rialzamento a \(\bar\gamma : S^1 \to \mathbb R\) con la proprietà che \(p\circ \bar\gamma = \gamma\), e quindi \(\bar\gamma(1)\) deve essere un intero perché \(\gamma(0)=\gamma(1) = e^{2\pi i \bar\gamma(1)} = 0\); mi sembra che senza questo, senza cioè usare in qualche modo il fatto che \(\mathbb R \to S^1\) è un rivestimento, la dimostrazione analitica non c'è; e quindi dipende da qualcos'altro di più fondamentale -in questo caso, la teoria dei rivestimenti, che esiste anche per spazi che non sono varietà.

Questa è una differenza tra analitico e sintetico che si apprezza allo stesso modo, ad esempio, nella coomologia di de Rham (per inciso, un altro approccio possibile a dimostrare che \(\pi_1(S^1)\) è \(\mathbb Z\) è dimostrare che \(H^1(S^1)\) è \(\mathbb Z\); questa seconda cosa è molto più facile): ha un modello analitico fatto dalle forme differenziali, dal loro complesso di de Rham, eccetera. Ma quello che stai davvero contando è un invariante sintetico: la coomologia "di de Rham" esiste per spazi che non sono varietà.