Semplicemente connesso?

[3m0o]

\( \mathbb{C}^* \) è semplicemente connesso o no?
Io direi di no, siccome se \( f: U \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso, \(f \) ammette una primitiva.
Ma \( f(z) = \frac{1}{z} \) è olomorfa su \( \mathbb{C}^* \) ma se faccio \( \oint_{\mathbb{D}} \frac{1}{z} \) non ammette una primitiva infatti
\[ \oint_{\partial \mathbb{D}} \frac{1}{z} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{it}}dt = 2\pi i \neq 0 \]
E per Morera dovremmo avere che siccome \( \frac{1}{z} \) è continua in \( \mathbb{D} \setminus {0} \) allora \( \frac{1}{z} \) ammette primitiva se e solo se l'integrale è zero su ogni cammino contenuto in \( \mathbb{D} \setminus {0} \)

[otta96]

Non lo è ma la stai facendo più complicata di quanto non sia.
\( \mathbb{C}^* \) è omeomorfo a $RR\timesS^1$, quindi il suo gruppo fondamentale è $ZZ$ e un generatore è la circonferenza su cui hai integrato.

[solaàl]

Se intendi \(\mathbb C \smallsetminus \{0\}\), chiaramente non è semplicemente connesso: è omeomorfo a \(\mathbb R^2 \smallsetminus \{(0,0)\}\), il quale ha una retrazione su \(\mathbb S^1\) data dalla mappa
\[r :
p\mapsto \frac{p}{|p|} = \frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}
\] (nelle coordinate cartesiane). Ora, se \(i : Y\hookrightarrow X\) è un retratto di deformazione forte, \(\pi_n(Y)\cong \pi_n(X)\). (A te basta il primo, ma tanto dal secondo in poi sono tutti zero)

Per mostrare che lo è basta trovare un'omotopia tra \(ir\) e l'identità di \(\mathbb C^*\), lo lascio fare a te.

[3m0o]

Si, ma il problema non è topologico ma di analisi complessa, nel senso che mi sembra esserci un problema con i seguenti risultati di corso

Teorema 138: Sia \( U \) un aperto, \( f: U \to \mathbb{C} \) olomorfa, \( \gamma \) contrattibile in \( U \) allora \[ \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \]

Definizione 144: \( f : U \to \mathbb{C} \) continua diciamo che soddisfa le condizioni di Morera se \( \forall \gamma \in U \)
\[ \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \]

Teorema 149: \( f : U \mathbb{C} \) continua allora possiede una primitiva olomorfa se e solo se soddisfa le condizioni di Morera.

Teorema 150: se \( f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso allora \(f \) possiede una primitiva

Corollario 170: (Teorema di Morera) Se \( f: U \to \mathbb{C} \) continua e \( \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \) per ogni \( \gamma \) contrattibile allora \( f \) olomora.
NB: la reciproca è vera: vedi teorema 138

Ora io ho che \( \frac{1}{z} \) è olomorfa in \( \mathbb{C}^* \).
Il problema non è l'olomorfia di \( \frac{1}{z} \) ma il fatto che i cammini di \( \mathbb{C}^* \) non sono contrattibili? Vuol dire che non ci sono cammini contrattibili in \( \mathbb{C}^* \) ?
Mi si chiede di dimostrare che \(f(z)= \frac{1}{z} \) non possiede primitive su \( \mathbb{C}^* \) ma che possiede primitive su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
a) Per il teorema 150 sicuramente \( \mathbb{C}^* \) non è semplicemente connesso.
Ora supponiamo esista una primitiva su \( \mathbb{C}^* \) di \( \frac{1}{z} \), ma siccome \( \frac{1}{z} \) non soddisfa le condizioni di Morera in quanto l'integrale è non nullo su un cammino sul bordo del disco unitario allora la funzione non possiede una primitiva olomorfa ma nulla mi dice che non possiede una primitiva (non olomorfa).
b) Voglio dimostrare che \( \log(z) \) è una primitiva olomorfa di \( \frac{1}{z} \) su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Prendiamo un laccetto chiuso \( \gamma \) in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) siccome non può contenere lo zero siccome dev'essere chiuso allora abbiamo che \( \oint_{\gamma} \frac{1}{z} = 0 \), per ogni cammino contrattibile in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \), e dunque ammette una primitiva olomorfa per Morera.
Inoltre \( \log(z) \) essendo olomorfo in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) ed essendo la sua derivata \( \frac{1}{z} \) abbiamo che il \( \log(z) \) è una primitiva di \( 1/z\).

[solaàl]

Un cammino che non allaccia il buco è nullomotopo, dimostralo.

[3m0o]

Un cammino che non allaccia il buco è nullomotopo, dimostralo.

Cosa vuol dire nullomotopo?

[solaàl]

Omotopo a un cammino costante. (Come pretendi di capire l'analisi complessa e l'invarianza per omotopia degli integrali lungo cammini, se ti manca questa terminologia?)

[3m0o]

Omotopo a un cammino costante. (Come pretendi di capire l'analisi complessa e l'invarianza per omotopia degli integrali lungo cammini, se ti manca questa terminologia?)

1) non studio in italiano quindi non so tutta la terminologia in italiano, mi scuso.
2) Il nostro professore di analisi complessa ha detto che approfondiremo in altri corsi questi aspetti e quindi ha fatto tutto più o meno in 2 ore in modo un po' confusionario dicendo di non perderci troppo tempo perché non insiste su questi aspetti in questo corso. Ad esempio non ci ha mai parlato di cammini nullomotopi.

[Lucacs]

Ciao
Il fatto che un cammino chiuso sia omotopo a costante vuole dire che il suo sostegno è deformabile con continuità a un punto.
A sua volta questo dice che l'aperto considerato non puo' avere buchi, ovvero che il complemento non ha componenti connesse limitate.
Si dimostra con le funzioni olomorfe. Ma io non sono troppo bravo

[dissonance]

Omotopo a un cammino costante. (Come pretendi di capire l'analisi complessa e l'invarianza per omotopia degli integrali lungo cammini, se ti manca questa terminologia?)

Sono sicuro che non è tua intenzione, ma:

1) il tuo uso dell' imperativo ("dimostralo", un po' più su);
2) questo atteggiamento da maestro;

risultano pedanti e antipatici. Non c'è bisogno che io lo difenda, ma comunque faccio notare che 3m0o non è affatto un cretino, sta facendo degli studi di livello molto alto e, a mio avviso, è ampiamente all'altezza di questo livello.

Venendo alla matematica, io sono completamente d'accordo con il primo post di 3m0o, che mi pare un OTTIMO metodo per dimostrare che \(\mathbb C\setminus\{0\}\) non è semplicemente connesso. Forse un appassionato di topologia algebrica non farebbe così, ma qui siamo esattamente su un crocevia tra analisi complessa e topologia algebrica, e non è strano che le cose di base si possano approcciare nei due modi. Anzi, è proprio qui l'interesse.