Controesempi trasformata di Laplace

[3m0o]

Consideriamo la trasformata di Laplace
\[ \mathcal{L}f(z) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-zt} dt \]

Teorema:
Sia \( f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \) limitata e continua a pezzi. Se \( \mathcal{L}f \) si estende ad una funzione meromorfa su \( \mathbb{H}_{- \delta} := \{ z \in \mathbb{C} : \Re(z) > - \delta \}\) per \( \delta >0 \) e senza poli in \( \overline{ \mathbb{H}}_0 \) allora \( \int_{0}^{\infty} f(t) dt \) esiste e vale \( \mathcal{L}f(0 ) \)

Non capisco perché dobbiamo avere così tante ipotesi per dire che
\[ \mathcal{L}f(0 )= \int_{0}^{\infty} f(t) dt \]
non riesco a trovare nessun controesempio togliendo ipotesi. Chi mi aiuta a trovare controesempi?
Mi domando se possiamo avere i seguenti casi:
1) \( \int_{0}^{\infty} f(t) dt \) e \( \mathcal{L}f(0 ) \) esistono ma sono distinti?
2) \( \int_{0}^{\infty} f(t) dt \) esiste e \( \mathcal{L}f(0 ) \) non esiste?
3) \( \int_{0}^{\infty} f(t) dt \) non esiste e \( \mathcal{L}f(0 ) \) esiste?

[dissonance]

È una bella domanda ma temo che sia difficile.

[3m0o]

Oppure è dovuto solo alla definizione della trasformata:
a priori la trasformata è definita sul piano con parte reale strettamente positiva \( \mathcal{L}f : \mathbb{H}_0 \to \mathbb{C} \)
se ha un estensione meromorfa (senza poli sulla retta immaginara) non è scontato minimamente che \( \mathcal{L}f(0) = \int_{0}^{\infty} f(t) dt \) esattamente come per la zeta di riemann abbiamo estensione meromorfa a \( \mathbb{C} \) ma non ha senso affermare che sulla strisce con parte reale compresa tra 0 e 1 abbiamo questa uguaglianza
\[ \zeta(s) = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n^s} \]
e quindi il risultato è sostanzialmente sorprendente poiché in zero l'estensione meromorfa della trasformata di Laplace ha la medesima espressione di com'era definita precedentemente sul semipiano con parte reale positiva.

Quindi quei "controesempi" da me ricercati non hanno troppo senso poiché se togliamo l'ipotesi che \( \mathcal{L} f \) abbia estensione meromorfa l'oggetto \( \mathcal{L}f(0 ) \) non è definito.

[dissonance]

Sono d'accordo su tutto, specialmente sul paragone con \(\zeta\), ma non su "il risultato è sorprendente". Non è sorprendente, anzi, è quello che uno si aspetta, ma quello che uno si aspetta non sempre ha senso. Infatti, il punto qui è che NON stai assumendo che \(f\) sia assolutamente integrabile, ovvero
\[
\int_0^\infty \lvert f(t)\rvert\, dt<\infty.\]
Quindi niente è ovvio, neanche che \(\int_0^\infty f(t)\, dt\) esista.

[3m0o]

Intendevo dire che è sorprendente che l espressione dell estensione meromorfa di una funzione coincida con l espressione della funzione definita inizialmente. Perche nulla ci dice che questo è il caso, anzi. Come per la zeta l estensione converge per ogni punto (diverso da 1) ma l espressione iniziale diverge in ogni punto. Chiaro che intuitivamente uno si aspetta che in zero abbiano lo stesso valore ma non è per nulla scontato ed è sorprendente che sia il caso.

[dissonance]

Certo.