[Ex] - Compattezza di operatori di tipo Volterra

[obnoxious]

Problema. Sia \( u \in C^1 ([0,1]) \) strettamente crescente con \( u(0) \ge 0 \). Per \( f \in C([0,1]) \) si definisca \[ T_u (f) (x) = \frac{1}{u(x)} \int_0^x f(t) u'(t) \, dt. \]
Mostrare che:

1. \(T \in L(C([0,1])) \);

2. \(T \) è compatto se e solo se \( u(0) > 0 \).

In ogni caso, calcolare lo spettro di \(T\).

[Ernesto01]

Se prendo $u$ che passa per l'origine,$T_u f(0)$ non mi sembra ben definita. (sto dividendo per 0). Forse stai adottando una convenzione dove quella roba fa $0$?

[obnoxious]

[...] quella roba fa $0$?

Semmai \( f(0) \). Comunque sì, lo consideravo parte del problema.

[Mathita]

Non tocco la teoria degli operatori da un bel po' e ho bisogno di una rinfrescata.

\(L(C([0,1]))\) è l'insieme degli operatori limitati definiti su \(C([0,1])\), giusto? Se la risposta è sì, la norma da usare è quella del sup, isn't it?

[obnoxious]

[...] \(L(C([0,1]))\) è l'insieme degli operatori limitati definiti su \(C([0,1])\), giusto? [...]

Lineari e continui.

[...] Se la risposta è sì, la norma da usare è quella del sup, isn't it?

Yep.

[Mathita]

Alcune osservazioni sparse, rigorosamente in spoiler per non confondere/influenzare eventuali risolutori.

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Sinceramente? Sono un po' bloccato sul caso $u(0)=0$, che non sono sicuro di saper trattare come si deve. In ogni caso, supponendo che $u(0)>0$, la linearità dell'operatore è pressoché immediata, infatti fissati \(f,g\in C([0,1])\) e $\lambda\in\mathbb{R}$, allora $\forall x\in[0,1]$ valgono le uguaglianze:

$(1)\ \ \ T_u(f+g)(x)=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}(f(t)+g(t))u'(t)dt=$

$=\frac{1}{u(x)}\left[\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt+\int_{0}^{x}g(t)u'(t)dt\right]=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt+\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}g(t)u'(t)dt=$

$=T_u(f)(x)+T_u(g)(x)$

e

$(2)\ \ \ T_{u}(\lambda f)(x)=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}\lambda f(t)u'(t)dt=\lambda\left(\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt\right)=\lambda T_{u}(f)(x)$

(1) e (2) dimostrano che $T_{u}(f)(x)$ è un operatore lineare su \(C([0,1])\).

E il caso $u(0)=0$? Bisogna prima di tutto capire come si comporta l'operatore in un intorno destro di $x_0=0$ quando $u$ si annulla in $x_0$.

Calcolo il limite

$\lim_{x\to 0^{+}}T_{u}(f)(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt=$

che, grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale e al teorema di De l'Hospital, diventa

$=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{u'(x)}f(x)u'(x)=f(0)$

Le funzioni che $T_{u}(f)(x)$ produce possono essere prolungate con continuità in $x_0=0$, ponendo

$T_{u}(f)(0)=f(0)$

Supponendo che $u(0)=0$, la linearità di $T_{u}(f)(x)$ si dimostra ripercorrendo i passaggi in (1) e in (2) $\forall x\in (0,1]$ e aggiungendo i casi "banali"

$T_{u}(f+g)(0)=(f+g)(0)=f(0)+g(0)=T_{u}(f)(0)+T_{u}(g)(0)$

$T_{u}(\lambda f)(0)=\lambda f(0)=\lambda T_{u}(f)(0)$

In teoria, ho dimostrato la linearità di $T_{u}(f)(x)$, o almeno spero. Prima di scrivere altre sciocchezze, preferirei mettere un punto fermo a quanto fatto finora. Potreste dirmi se ho scritto bestialità?

[obnoxious]

@Mathita: a me sembra che vada bene!

[Mathita]

Provo a dimostrare la continuità

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Ricordo che un operatore lineare è continuo se e solo se è limitato, per cui tenterò di dimostrare la limitatezza di $T_{u}(f)$, mostrando che esiste una costante $C>0$ tale che \(||T_{u}(f)||_{\infty}\le C||f||_{\infty}, \forall f\in C([0,1])\).

Osservo preliminarmente che per ogni $x\in [0,1]$

$$|T_{u}(f)(x)|=|\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt|\le \frac{1}{u(x)}||f||_{\infty}\int_{0}^{x}u'(t)dt=\frac{u(x)-u(0)}{u(x)}||f||_{\infty}$$

da cui segue che se $u(0)=0$, allora \(|T_{u}(f)(x)|\le ||f||_{\infty}\), mentre se $u(0)>0$, dalla monotonia stretta della funzione $u$, si ha che

$$0<u(0)\le u(x)\le u(1)\implies \frac{1}{u(1)}\le\frac{1}{u(x)}\le\frac{1}{u(0)},\forall x\in [0,1]$$

e

$$0\le u(x)-u(0)\le u(1)-u(0),\forall x\in [0,1]$$

pertanto $|T_{u}(f)(x)|\le \frac{u(1)-u(0)}{u(0)}||f||_{\infty}$. Posto $C=\max\{\frac{u(1)-u(0)}{u(0)},1\}$, concludo che

$$|T_{u}(f)(x)|\le C||f||_{\infty},\forall x\in [0,1]\implies ||T_{u}(f)||_{\infty}\le C ||f||_{\infty},\forall f\in C([0,1])$$
ovvero $T_{u}(f)$ è un operatore lineare limitato (dunque continuo) su \(C([0,1])\). Spero non ci siano bug nella dimostrazione.

[EDIT]: mi sono dimenticato di dire che \(||f||_{\infty}<+\infty,\forall f\in C([0,1])\) per via del teorema di Weierstrass.

[dissonance]

@Mathita: quanto hai fatto fino adesso mi convince. Ora sono proprio curioso di vedere la soluzione del punto 2.

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Non mi sono messo a fare conti ma, se vuoi, ti dico come farei. Se preferisci fare in autonomia ignora completamente questo spoiler.

Nel caso \(u(0)>0\), la funzione \(\frac{1}{u}\) è limitata, quindi l'operatore
\[
Sg(x):=\frac{1}{u(x)} g(x), \qquad S\colon C([0, 1])\to C([0, 1])\]
è limitato. Usando Ascoli-Arzelà non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
Vf(x):=\int_0^x f(y) u'(y)\, dy, \qquad V\colon C([0, 1])\to C([0, 1])\]
è compatto, e la composizione di un operatore compatto con un operatore limitato è un operatore compatto (questo è un teorema basico).

Invece nel caso \(u(0)=0\) bisogna trovare una successione \(f_n\in C([0, 1])\) tale che \(\lVert f_n\rVert_\infty=1\) e che \(T_u f_n\) non è equicontinua; sempre il teorema di Ascoli-Arzelà implica che una tale successione non ha estratte convergenti. Qua la cosa è più delicata. Chiaramente \(f_n\) deve concentrarsi su \(0\), perché è lì che succede qualcosa di interessante.

[obnoxious]

@dissonance:

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equivalentemente si può costruire un successione \( \{f_n\} \subseteq C([0,1]) \) limitata tale che \( T_u f_n\) non ammetta sottosuccessioni di Cauchy (parlo del caso \( u(0)=0\)).