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Dimostra che se \( f \) è una funzione intera tale che \( \Im (f) \leq ( \Re(f) )^2 \) allora abbiamo che \( f \) è costante.
Non so se sia questa la strada ma:

Abbiamo che l'intero asse immaginario superiore (ovvero \( ix \) con \( x >0 \)) non è immagine di nessun punto per la \(f \), altrimenti \( x \leq 0 \) è assurdo. Pertanto \( f(z) -i \neq 0 \) per ogni \(z \in \mathbb{C} \) dunque abbiamo che essendo \( f \) intera lo è anche \( g \) definita come:
\[ g(z) := \frac{1}{f(z)-i} \]
Se \( g \) è limitata segue direttamente che è costante per Liouville, e dunque lo è \( f \).
Come faccio a dimostrare che \( g \) limitata?

Devi dimostrare che
\[
\lvert f(z)-i\rvert^2\ge C >0, \]
per una qualche costante \(C>0\). Sviluppa il quadrato a membro sinistro e usa l'ipotesi
\[\Re(f)^2 + (\Im(f)-1)^2 \ge \Im(f)+(\Im(f)-1)^2, \]
e adesso studia il polinomio di variabile reale \(y+(y-1)^2\).

Okay chiaro, siccome quella parabola è sempre contenuta nel semi piano superiore abbiamo che esiste un \( \delta >0 \) tale che \( \left| f(z) - i \right| > \delta \) e pertanto \( \frac{1}{\left| f(z) - i \right|} < \frac{1}{\delta} \) è limitata e quindi costante.
Grazie

Esatto. Se non ho sbagliato i conti, \(y+(y-1)^2\ge \frac34\), quindi
\[
\lvert g(z)\rvert \le \frac{2}{\sqrt 3}.\]
(Ma comunque non è necessario dare una stima esplicita, il tuo svolgimento è sufficiente).