Esistono delle funzioni olomorfe non costanti e limitati nei seguenti spazi? Se si trovale esplicitamente
i) \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \to \mathbb{C} \)
ii) \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \)
iii) \( f: \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \)
iv) \( f: \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_- \to \mathbb{C} \)
Io direi di sì. Per il primo spazio \( g(z) = \frac{1}{\sqrt{z} +1} \) dovrebbe andar bene in quanto la radice è ben definita su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) e inoltre \( \sqrt{re^{i \theta}} = \sqrt{r}e^{i \theta/2} \)
Pertanto se \( 0 \leq \theta < \pi \) abbiamo che \(0 \leq \theta/2 < \pi/2 \) mentre se \( - \pi > \theta \geq 0 \) abbiamo che \( - \pi/2 > \theta \geq 0 \)
Pertanto possiamo dire che esiste \( \delta >0 \) tale che \( \left| \sqrt{z} + 1 \right| > \delta \) e quindi \( g \) è limitata ma non è costante.
Per le altre ho pensato di utilizzare il fatto che sono tutti dei semplicemente connessi pertanto esiste una mappa conforme che trasforma lo spazio in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Ad esempio prendendo la mappa conforme \(\phi : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) possiamo prendere semplicemente una rotazione di \( \pi \) e quindi
abbiamo che \( f: \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \) è la composizione di due funzioni olomorfe e pertanto olomorfa, \( f := g \circ \phi \) e la forma esplicita à data da
\[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{\pi z} +1} \].
Applicherei lo stesso ragionamento anche per gli altri punti. E dovrebbe andar bene questo ragionamento in realta per ogni \( U \) semplicemente connesso (distinto da \( \mathbb{C} \) ). Troviamo una mappa conforme \( \phi : U \to \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) e applichiamo la \( g \) definita al punto i) e giochi son fatti!
Oppure ancora trasferire tutto al disco e prendere una funzione olomorfa (e non costante) qualsiasi sul disco.
Curiosità senza applicare le rotazioni non mi viene in mente niente, qualcuno mi aiuta a trovare degli esempi di funzioni olomorfe senza passare dalle mappe conformi per gli altri spazi?