Avrei una curiosità
Se \( U \) è un semplicemente connesso che non contiene lo zero, allora esiste una determinazione del logaritmo.
Prendiamo ad esempio \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) è semplicemente connesso e non contiene lo zero, quindi possiamo trovare una determinazione del logaritmo \(L \), ma la funzione \( \arg(z) \) è discontinua su \( \mathbb{R}_- \)?
Si può quindi definire anche la radice su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) ?
Ad esempio la radice \(n\)-esima \( r^n(z) := e^{n^{-1} L(z) } \)
Giusto?
Più in generale posso trovare una determinazione del logaritmo togliendo un qualunque raggio passante da zero da \( \mathbb{C} \)
Quindi su qualsiasi insieme del tipo \( \mathbb{C} \setminus e^{i \theta} \mathbb{R}_+ \) ? E poi da lì definire una radice.