Mappe quasi conformi.

[3m0o]

Non capisco un paio di cose della dimostrazione (in grassetto i miei commenti)
Sia \( U \subsetneq \mathbb{C} \) un dominio semplicemente connesso e \( z_0 \in U \), denotiamo \( \Sigma_{U,z_0} \) l'insieme delle applicazioni olomorfe \( f:U \to \mathbb{D} \) che sono iniettive e tali che \( f(z_0)=0 \) e \(f'(z_0) >0 \). Dimostriamo che \( \Sigma_{U,z_0} \neq \emptyset \)

L'idea è che se possiamo trovare un intorno di un punto di \( a \) che dista almeno \( r \) da \(U \) allora è sufficiente prendere \( z \mapsto \frac{r}{z-a} \) mi sembra però che questa funzione non si annulli avrà mica voluto scrivere \( z \mapsto \frac{z}{r-a} \)?
Ma non è sempre possibile basti pensare a \( U= \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \), l'idea è quindi di prendere la radice per ridurre il dominio e fare spazio nel complementare.
Sia pertanto \( \omega_0 \in \mathbb{C} \setminus U \), poiché \(U\) è semplicemente connesso esiste una determinazione della radice, pertanto consideriamo \( z \mapsto \sqrt{z- \omega_0 } \)
E consideriamo \( \phi : U \to \mathbb{C} \) tale che \( \phi^2 (z) = z - w_0 \), siccome la funzione \( z - w_0 \) è iniettiva lo è \( \phi \), e in più abbiamo che non esistono \(z_1,z_2 \in U \) tale che \( \phi(z_1)=- \phi(z_2) \). mica ho capito il perché di questa "superiniettività"
Per il teorema delle applicazioni aperte, \( \phi(U) \) contiene un disco \( D(b,r) \) con \( 0 < r < \left|b \right| \) e ponendo \( a= -b \) abbiamo che \( D(a,r) \cap \phi(U) = \emptyset \) non ho capito perché l'intersezione è necessariamente vuota e quindi la funzione \( \psi : U \to \mathbb{C} \) definita da
\[ \psi(z) = \frac{r}{\phi(z) - a } \]
è tale che \( \psi(U) \subset \mathbb{D} \), e componendola con una trasformazione di Mobius del disco unitario possiamo supporre \( \psi(z_0)=0 \) e \( \psi'(z_0) > 0 \).

di nuovo non capisco come faccia ad annullarsi quella funzione \( \psi \)

[dissonance]

Il fatto che la funzione non si annulli non è un problema. Gli appunti insistono sul fatto che \(\lvert \psi(z_0)\rvert <1\), ovvero che \(\psi(z_0)\) caschi nel disco unitario. Se questo succede, poi basterà comporre con una trasformazione di Möbius per portare \(\psi(z_0)\) su \(0\). Questo spiega anche perché si considera
\[
\frac{r}{z-a}; \]
infatti, se la distanza di \(a\) da \(U\) è strettamente maggiore di \(r\), allora
\[
\left\lvert \frac{r}{z-a} \right\rvert <1.\]

[3m0o]

Ok ho capito.
E per quanto riguarda l'iniettività più forte? E il dominio che ha intersezione vuota con le immagini?

[dissonance]

Mah, l'iniettività più forte secondo me è una cosa facile. Se \(\phi(z_1)=\pm\phi(z_2)\), allora \(\phi^2(z_1)=\phi^2(z_2)\) e quindi, siccome \(\phi^2\) è ingettiva, \(z_1=z_2\).

[3m0o]

Mah, l'iniettività più forte secondo me è una cosa facile. Se \(\phi(z_1)=\pm\phi(z_2)\), allora \(\phi^2(z_1)=\phi^2(z_2)\) e quindi, siccome \(\phi^2\) è ingettiva, \(z_1=z_2\).

Si hai ragione mi sono espresso male, intendevo dire che non capisco come è fatta una tale funzione, cioé non riesco a visualizzarmi un possibile insieme delle immagini. Perché se \( \phi(z_1)=\phi(z_2) \) implica che \( z_1 = z_2 \) e \( \phi(z_1) = - \phi(z_2) \) implica che \(z_1 = z_2 \), vuol dire che \( z_1 \) è mappato in due punti, no?
Infatti se abbiamo un tale punto \( \omega \) tale che \( \phi(z_1)=\omega \) e \( - \omega \) tale che \( \phi(z_2) =-\omega\) allora abbiamo che e \( \phi(z_1) = - \phi(z_2) \) implica che \( \phi(z_1) = - \omega \)
Ma questo non può essere, perché non sarebbe una funzione, pertanto se \( \omega \) è nelle immagini \( - \omega \) non lo è, giusto? Vuol dire che le immagini sono in un solo semipiano del piano complesso?

Edit:
E se è il caso allora risponde alla mia domanda del perché il dominio \( D(a,r)\cap \phi(U) \) è vuoto.

[dissonance]

Mah, l'iniettività più forte secondo me è una cosa facile. Se \(\phi(z_1)=\pm\phi(z_2)\), allora \(\phi^2(z_1)=\phi^2(z_2)\) e quindi, siccome \(\phi^2\) è ingettiva, \(z_1=z_2\).

Si hai ragione mi sono espresso male, intendevo dire che non capisco come è fatta una tale funzione, cioé non riesco a visualizzarmi un possibile insieme delle immagini. Perché se \( \phi(z_1)=\phi(z_2) \) implica che \( z_1 = z_2 \) e \( \phi(z_1) = - \phi(z_2) \) implica che \(z_1 = z_2 \), vuol dire che \( z_1 \) è mappato in due punti, no?

No. Perché? Non leggere le implicazioni al contrario: \(\phi(z_1)=\pm\phi(z_2)\Rightarrow z_1=z_2\). Quello che dici sarebbe vero se fosse \(z_1=z_2\Rightarrow \phi(z_1)=\pm\phi(z_2)\).

[3m0o]

Hai ragione...
Ma allora non capisco perché quel disco \( D(a,r) \cap \phi(U) = \emptyset \).

[dissonance]

In effetti qualsiasi determinazione della radice quadrata verifica quella proprietà di ingettività aumentata. Infatti, \(f(z)=\sqrt{z}\) definita ponendo
\[
f(z)=\sqrt{|z|}e^{i\operatorname{arg}z}, \]
dove \(\operatorname{arg}\) assume valori in \((a, a+2\pi)\) (per un \(a\in\mathbb R\)) è tale che se \(f(z_1)=-f(z_2)\) allora
\[
|z_1|=|z_2|, \qquad \operatorname{arg}(z_1)=\operatorname{arg}(z_2)-2\pi, \]
ovvero \(z_1=z_2\).

[3m0o]

Ma cavolo quindi se è una radice vuol dire che l'immagine di \(U\) (semplicemente connesso che al più può essere \( \mathbb{C} \setminus e^{i \theta} \mathbb{R}_+ \) per la radice è tutta contenuta in un semipiano di \( \mathbb{C} \) e pertanto possiamo trovare un intorno di un punto nel semipiano opposto per cui non interseca l'immagine di \(U \).

[dissonance]

Si, penso proprio sia quella l'idea.